2017年北京市培养单位动物研究所803概率论与数理统计考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设连续随机变量
独立同分布, 试证:
【答案】设诸而事件
从而该事件的概率为
若记诸
的分布函数为
则上式积分可化为
2． 若
【答案】由
试证：
得
所以得
即
所以
即
由此得
即
的密度函数为P （x ）, 其联合密度函数为
.
3． 设二维随机变量（X , Y ）服从单位圆内的均匀分布, 其联合密度函数为
试证:X 与Y 不独立且X 与Y 不相关 【答案】先求边际密度函数
所以由又因为
和
知X 与Y 不独立.
在对称区间上是偶函数, 故
从而
所以X 与Y 不相关.
4． [1]设随机变量
[2]
设
【答案】利用变换
，求
，证明：
及偶函数性质可得
[2]在题[1]中令
5． [1]如果
试证: （1）（2）[2]如果
【答案】（1
）因为
时
即
（2）先证
明
成立, 进一步由
. 对任意
的
成立, 对取定的M , 存在N , 当
这时有
即可得结论.
是直线上的连续函数, 试证:
,
可得
所以又有
取M 足够大（譬
如
时, 有
成立. ）, 使
有
,
故当
有
从而有
由即[2]若对任意的
的任意性知
成立.
是m 次多项式函数, 即
取M 充分大,
使有于是有
对取定的M ,
因为
是连续函数,
所以可以用多项式函数去逼近
, 使得
当
所以存在
因为
并且在任意有限区
时,
有使当
间上还可以是一致的, 因而存在m 次多项
式
对取定的m 次多项式
时, 有
当又因为
且
所以
从而有
由
的任意性即知
, 结论得证.
6． 设0 【答案】先证必要性：因为A 与B 独立，所以再证充分性：由 ，所以A 与B 独立. 由此得P （AB ）=P（A ）P （B ） 同理可证由上面（1）得 则由题[1]知有 , 又选取 下证一般情况, 充分大, 使当 时, 有 又因为 时, 有 独立，由此得 即