2017年北京市培养单位动物研究所803概率论与数理统计考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1. 设随机变量序列证:
【答案】己知则
对任意的
由切比雪夫不等式得
即
, 结论得证.
中抽取容量为
,的两独立样本其样本方差分别为
独立同分布, 数学期望、方差均存在, 且
试
2 设分别自总体.
试证,对于任意常数a , b (a+b=l),达到最小.
【答案】由已知条件有
都是的无偏估计,并确定常数a , b 使Var (Z )
且
独立. 于是
故
这证明了又
是的无偏估计.
从而
因而当
时,V ar (Z )达到最小,此时
这个结果表明,对来自方差相等(不论均值是否相等)的两个正态总体的容量为本,上述是
的线性无偏估计类
中方差最小的.
的样
该无偏估计为
3. 试证随机变量X 的偏度系数与峰度系数对位移和改变比例尺是不变的,
即对任意的实数
与X 有相同的偏度系数与峰度系数.
【答案】因为j
所以
即Y 与X 有相同的偏度系数. 又因为
所以Y 与X 有相同的峰度系数.
4. 设总体X 服从双参数指数分布, 其分布函数为
其
中明,
【答案】令
服从自由度为2的(1), 则
为样本的次序统计量. 试证分布
的联合密度为
作变换
其雅可比(Jacobi )行列式为
合密度我们可以知道
的联合密度为
从而
由该联
是独立同分布的随机变量, 且
这是指数分布就证明了
的分布函数, 我们知道
,
就是
也就是
. 这
5. 设以下所涉及的数学期望均存在, 试证:
(1)(2)(3)
【答案】(1)由
知
(2)因为(3)
6. 如果
【答案】记因为令而
, 试证:
又由(1)知
所以有
和时, 有
使当
, 时, 有
. 对任给的
, 使当
取足够大的
和
使
与X 的分布函数分别为
, 故存在, 因为
是F (x )的连续点, 且
, 故存在
由M 的定义即可知当
_时, 有
因而
7. 设总体的概率函数p (x ; θ)的费希尔信息量存在,若二阶导数证明费希尔信息量
【答案】记
则
所以
另一方面,
, 所以有而对于
, 由的任意性知结论得证.
对一切的
存在,
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