2018年广州大学经济与统计学院612分析与代数之数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1．
设级数
与级数\
都发散，
试问
与
两级数均发散，但又如，（2）当
与
，即
，两级数均发散，且均非负时，则
收敛.
发散.
一定发散. 这是因为:由
而由
与
非负有
由柯西准则知
发散.
, 存在
上连续可知,
在
上也连续. 由连续函数的最大、
. 使得
证明:存在最小值定理知,
若m=0, 则
, 使得
【答案】由f （x ）在
2． 设f 在[a, b]上连续, 且对任何
发散知存在
一定发散吗？又若与都发散时
，
都是
非负数，则能得出什么结论？
【答案】（1）
当
不一定发散.
如
吋任意自然数N ，总存在自然数m （m>N）和p 使
在[a, b]上有最小值. 设这个最小值为, 命题得证.
, 使得
若m>0, 由题设知存在这与m
是
3． 设f （x , y ）为在[a, b]上一致收敛.
【答案】任取一个趋于
在[a, b]上的最小值矛盾. 于是m=0, 即存在
上连续非负函数, 的递增数列
（其中
, 使得
在[a, b]上连续, 证明I （x ）
）, 考察级数
由于上且连续, 从而
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且在[a, b]上连续由狄尼定理得级势
在[a, b]上一致收敛
, 由（a ）推得
I （x ）在[a, b]上一致收敛.
二、解答题
4． 已知
是
上的正的连续函数, 且
不等式得
从而
由于则
即得
5．
将函数
【答案】
在
在
上展开成傅立叶级数，并求级数
上是偶函数，有
于是，取
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求证:
【答案】由
收敛
,
所以
的和.
，得
，解得
.
6． 讨论下列函数在点（0, 0）的重极限与累次极限:
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）
趋于定点（0, 0）时,
这说明动点沿不同斜率的直线趋于原点时, 对应的极限值均不同, 因此, 函数时的重极限不存在, 但累次极限:
（2）函数的两个累次极限都不存在. 又
故
可见函数
的重极限存在且为零.
所以,
函数
的两个累次极限存在且相等,
由于
故
（4）累次极限为:
因此, 函数
的两个累次极限存在且相等. 现让动点沿着曲线
故函数
的重极限不存在.
不存在.
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【答案】（1）当动点（x , y ）沿着直线
当
（3）函数的累次极限为:
从而
. 不存在.
向（0, 0）点移动
.
（5）累次极限为:
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