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一、证明题

1． 设函数u （x , y ）在由封闭的光滑曲线L 所围的区域D 上具有二阶连续偏导数, 证明

其中

为u （x , y ）沿L 外法线方向n 的导数.

所以

由题意知,

在D 上具有连续导数, 故由格林公式知

因此

2． 证明:（1）若函数f 在

（3）对任意实数在一点,

使得

, 又因为

于是

, 因此

（2）因为f （x ）在[a, b]上满足拉格朗日中值定理的条件, 所以在（a , b ）内至少存在一点 使得（3）当

, 又因为

时, 结论成立. 当

时, 设

, 于是

令

由（2）的结论知,

3． 已知

证明:

则

内严格单调递增.

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【答案】由于

上可导, 且, 则. 则

（2）若函数f （x ）在[a, b]上可导, 且

都有

【答案】（1）因为f （x ）在[a, b]上满足拉格朗日中值定理的条件, 所以在（a , b ）内至少存

. 因此

. 则

【答案】令所以

在

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又再令

因此

则

此即

所以又

在

内严格单调递增.

此即

4． 证明:

若

【答案】（1）若因为

（2）当且仅当证明如下:由于是

如果

时, 由知, 对任意数列

可推出存在N , 当满足

此时, 命题变为:

时,

但数列

, 则在

于是, F （x ）在[a, b]上严格递增, 故当

6． 证明有界函数.

7． 试应用

定义证明:

时,

从而对任给

取

则当

时,

所以

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当且仅当

a 为何值时反之也成立? 则对任意

存在N , 使得n>N时

,

当

时, 也有

于是

所以对于任意

即是发散的.

内有

5． 证明:若函数f , g在区间[a, b]上可导, 且

【答案】令

则

时,

.

, 即

是R

上的有界函数.

于是,

故

是R 上的

【答案】

由平均值不等式可得

【答案】因为当

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二、解答题

8． 设f （x ）在

上连续,

求T n （x ）（即确定系数最小.

【答案】设a n , b n 为f （x ）在

上的傅里叶系数, 而

上式第一、三项为常数. 由此可见, 当且仅当

时最小, 最小值 9． 设

【答案】对

是n 个正实数, 求

取对数得

.

）, 使均方差

所以

10．在抛物线

【答案】设

哪一点的法线被抛物线所截之线段为最短.

为抛物线

上的一点, 则过该点的切线斜率为:

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