2018年广州大学数学与信息科学学院924数学(数学分析、线性代数)[专业硕士]之数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设f 为可导函数, 证明:若x=1时有
【答案】由复合函数求导法则, 有
由题设x=1时即
2． 试证明
【答案】数集为对于任意一个正数M , 令
3． 证明:函数
故
, 得
或
有上界而无下界. 对任意的
而
故3是数集S 的一个上界.S 无下界, 因 .
, 则必有
或
.
在点（0, 0）连续且偏导数存在, 但偏导数在点（0, 0）不连续, 而f 在点（0, 0）可微. 【答案】当
时
当
时
但由于因此当
时
,
的极限不存在, 从而
在点（0, 0）不连续, 然而
所以, 在点（0, 0）可微且
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因此f 在点（0, 0）连续.
不存在（可考察y=x情况）,
在点（0, 0）不连续.
同理可证
二、解答题
4． 计算线积分
【答案】如图所示
所以
, 其中ABC 为三点A （1, 0）, B （0, 1）, C （﹣1, 0）连成的折线.
图
5． 计算第一型曲线积分
【答案】方法一 写出曲线的参数方程:
因为
所以
方法二 由对称性可知, 只需考虑沿上半圆周
的积分, 这时
所以
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6．
为R 中的开集
，（1）对每个（2）
试证:
【答案】首先证明因
的x 存在关于
存在.
（为开集），所以
当
2
为上的函数，且
中的y 一致连续.
①
使得
时，有
；根据柯西准则，知
存在. 即等
根据条件（2）
令
取极限，根据条件（1）可得
）
.
式①左端极限存在，记之为A.
其次，（证明
由
利用条件（2）及上一步骤之结论，可取x 与x 0充分接近使得
将x 固定，由条件（1）
于是由②式知
7． 讨论下列瑕积分的收敛性:
（1） （3） （5）
, 故积分
收敛.
,
（2） （4）
使得
时证毕.
②
【答案】 （1）x=0是瑕点（2）由于故积分
_收敛.
, 故x=l不是瑕点.x=0为惟一瑕点. 因
（3）x=l为瑕点（4）x=0为瑕点. 当（5）知
收敛, 从而可知时, 积分发散.
, 此时p=l, . 故积分, 这里
, 故当收敛. 又由
发散. 时, 积分收敛;
,
由收敛.
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知