2018年广西师范大学数学与统计学院624数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设
,
其中表示有理数x 化成既约分数后的分母. 证明f （x , y ）在D 上的二重积分不存在而两个累次积分存在.
【答案】因为在正方形的任何部分内, 函数f 的振幅等于1. 所以二重积分不存在. 对固定的y , 若y 为无理数, 则函数f （x , y ）恒为零. 若y 为有理数, 则函数仅有有限个异于0的值,
因此
所以累次积分存在且
同理, 累次积分
2． 设f （x ）定义在[a, b]上
证明:存在子列
在x 0处有左、右导数; 令
, 使
【答案】令
则
而
由致密性定理, 令q=l—p , 则
3． 证明下列各题:
（1）
（2）（3）
在
上一致收敛；
有收敛子列
使
又设
,
在[a, b]（a ＞o ）上一致收敛；
（i ）在[a, b] （a ＞o ）上一致收敛； （ii ）在[0, b]上不一致收敛； （4）
（5）
在
上一致收敛；
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在（﹣∞, b] （b ＜l ）上一致收敛.
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【答案】（1）因为
上一致收敛.
（
2）因为（3） （i ）（ii ）取
对任何M ＞0, 令
而且
收敛, 所以
收敛, 所以
, 而收敛, 所以, 在
在[a, b] （a ＞0）上一致收敛. 在[a, b] （a ＞o
）上一致收敛.
所以（4）而且（5）
4． 证明:若函数
且则在
在[0, b]上不一致收敛.
收敛, 所以又
在
收敛, 所以
在
.
上有最大值M , 最小值
m , 不妨设
则对
上一致收敛.
上—
致收敛.
在区间[a,
b]上连续,
内至少存在一点, 使得
在区间
【答案】设函数
由闭区间上连续函数的介值定理
, 可知在
内至少存在一点, 使得
当时, 取即可.
5． 证明:若函数u=f（x , y ）满足拉普拉斯方程:
则函数【答案】令
也满足此方程.
则有
同理
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①
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由于
故有
同理
将①和②两式相加
, 并把上述结果代入整理后得
6． 证明:场
【答案】对空间任一点（x , y , z ）都有
故A 是有势场. 由
②
是有势场并求其势函数.
故其势函数为:
7． 证明:
（1）可导的偶函数
, 其导函数为奇函数
； （2）可导的奇函数, 其导函数为偶函数； （3）可导的周期函数, 其导函数仍为周期函数. 【答案】（1）设f （x ）为偶函数,
则对任意
, 有
. 设
故
是奇函数.
, 有
. 设
, 则
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则
（2）设f （x ）为奇函数, 则对任意