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一、解答题

1． 试确定函数项级数

【答案】由于

所以当

时级数绝对收敛, 当

时级数发散, 当

时, 因为

因而级数发散, 于是级数的收敛域为（-1, 1）. 设

, 当

, 求证f （x ）在（-1, 1）内连续

. 时有

由根式判别法知

收敛, 所以

在

f x ）上一致收敛, 从而（在[-S, S]

内非一致收敛.

, 则

即

2． 求曲面方程为

即

法线方程为

即

在点

处的切平面方程和法线方程.

. 所以切平面

【答案】由于z 在（1, 1）处可微, 从而切平面存在. 因为

在（-1, 1）内不一致收敛于0, 所以函数项级数

在（-1, 1）内非一致收敛.

的收敛域, 并讨论该级数的一致收敛性及其和函数的连续性.

上连续, 由的任意性知f （x ）在（-1, 1）内连续.

事实上, 设

, 取

3． 设是开集.

, 而且适合（1） f 在D 上可微, 且连续; （2）当时

, 则

使

则由定理可知

, 因为

是开集f :使开集

则f （D ）且满足, 在D 上由于

所以y 0

【答案】（1）任取可微, 连续;

（2）对于

时, .

为内点, 故f （D ）为开集.

4． 设f （x ）在（0, 1）内有定义, 且

求证:【答案】因为

所以对任意给定的

, 使得当

时,

（*）

, 由（*）得

（**）

因为

所以对（**

）令

取极限得到

从而

5． 将函数

【答案】

. 展开成x 的幂级数.

本题亦可用待定系数法展开. 设

两边同乘以因此

6． 求下列函数在指定范围内的最大值与最小值，

（1）（2）（3）

【答案】（1）解方程组由于在边界﹣2）上，值﹣4.

（2）解方程组数的稳定点及其函数值有:

而边界点（1，0），（0，1），（﹣1，0），（0, ﹣1）的函数值都等于1，所以函数的最大值点为（1，0），（0，1），（﹣1，0），（0，﹣1），最大值为1, 函数的最小值点为（0，0），最小值为0.

（3）解方程组在区域内部仅而在边界所以函数在点

, 并比较x 同次幂的系数, 可得

.

得稳定点（0, 0）.

所以（0, 0）不是极值点.

上，

由

得稳定点x=0, 这时，

在点（0, 2）和（0，

比较

同理，在边界点（2, 0）和（﹣2, 0）上，

各点的函数值知，在点（2, 0）, （ ﹣2, 0）函数取最大值4, 在点（0, 2）, （0, ﹣2）函数取最小

得稳定点（0, 0）, 函数值z （0, 0）=0.考察边界上相应一元函

得cosx=cosy因此稳定点在x=y或

为稳定点取得最大值

，

上函数值均为零，

，在边界上取得最小值为0.

上，