2018年广西师范学院数学与统计学院620数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 证明定理: （1）设f 在时的无穷大量. （2）若g 为
【答案】（1）因为f 在正数M ,
因为f 为使得当（2）因为g 为于是,
存在即为 2． 设
【答案】
由题设
可知
于是原命题得证. 3． 证明:
于区间
（其中
由于
）一致连续, 但是于在
内连续,
从而在
内不一致连续。 内一致连续, 则在区
证明:
介于1与之间.
在使得当
时的无穷小量. 时的无穷小量, 即
时,
’即
存在正数
故为使得当由g 为即
时的无穷大量
时,
时的无穷大量知, 故
,
内有定义且不等于0. 若f 为时的无穷大量, 则
为
的无穷小量, 则为
时的无穷小量.
内也有定义. 对于任意大的
;
内有定义且不等于0, 所以在
时的无穷大量, 故存在内有定义. 对于任给的
时,
【答案】（1
）由于间
内也一致连续。 （2）利用定义, 取
存在
取尽管有
但是, 从而函数在区间内不一致连续。
4． 证明:黎曼函数
在[0, 1]上可积.
【答案】由黎曼函数的性质, 个, 记为
作[0, 1]的分割T :
, 使其满足
由于
而在上式右边第一个和式中,
有
, 所以有
由第二充要条件, 黎曼函数在[0, 1]上可积.
5． 设f （x ）在
上有一阶连续导数, 且f （0）>0,
, 证明:
【答案】
,
由
, 有
对其取极限可得
由已知条件有
6． 证明:点列时
,
故
即
, 在[0, 1]上使得的点至多有有限个, 不妨设是k
且; 在第二个和式中,
有
且
. 若
.
收敛于的充要条件是收敛
于
和侧对任给
的
存在N , 当n>N
【答案】必要性 设点
列
从而
同理
充分性 设因此
故点列
7． 证明下列结论:
（1）若f （x , y）在某域G 上对x 连续, 关于x 对y —致连续, 则f （x , y ）在G 上连续; （2）若f （x , y）在某域G 上对x 连续, 对y 满足利普希茨条件, 即
, 其中y ）在G 上连续.
【答案】（1
）任取
, 当所以取有
,
因此f （x , y ）在点（2）任取当得
.
取
, 则当
连续. 由. , 当
时有
所以f （x , y ）在点
在点y 0连续, 于是
x 连续, 所以
取
的任意性知f （x , y ）在G 上连续.
, 由f （x , y ）对y 连续,
从而
时有
, 当
时有
则对任给
存在N , 当n>N时,
收敛于
, 使得有
, L 为常数, 则f （x , y ）在G 上连续;
（3）若f （x , y ）在某域G 上分别对每一变量x 和y 连续, 并且对其中一个变量单调, 则f （x ,
, 由于f （x , y ）关于x 对变量y —致连续,
所以时有,
, 当
时有
,
的邻域全部含在G 内, 则当
’.又f （x , y ）关于x 连续,
. 时,
, 且
在点x 0连续,
从而对上述
, 并使点
连续. 由的任意性知f （x , y）在G 上连续.
,
时, 由利普希茨条件
. 取
,, 则当
, 由f （x , y 0）在点x 0. 连续, 所以
时有
（3）不妨设f （x , y ）关于y 单调. 任取
在点x 0连续, 故对上述的, 则当
,
. 又由f （x , y ）对时有