2017年南开大学统计研究院845高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 求对数螺线
【答案】
相应于
的一段弧长。
2． 汽车连同载重共5t , 在抛物线拱桥上行驶, 速度为21.6 km/h, 桥的跨度为10m , 拱的矢高为0.25m （如图所示）。求汽车越过桥顶时对桥的压力。
图
【答案】设立直角坐标系如图所示, 设抛物线拱桥方程为由于抛物线过点（5, 0.25）, 代入方程得
因此
汽车越过桥顶点时对桥的压力为
3． 判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集? 并分别指出它们的聚点所成的点集（称为导集）和边界.
（1） （2） （3） （4）
【答案】（1）集合是开集，无界集；导集为
，边界为
.
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; ;
;
. . ，
边界为
（2）集合既非开集，又非闭集，是有界集；导集为
（3）集合是开集，区域，无界集；导集为
（4）集合是闭集，有界集；导集为集合本身，边界为
，边界为
.
4． 求半径为a 、中心角为
的均匀圆弧（线密度
）的质心。
【答案】取坐标系如图所示，则由对称性知又
，故
（也可由圆弧的弧长公式直接得出）
所求圆弧的质心的位置为。
图
5． 求下列方程所确定的隐函数的导数
（1）（2）（3）（4）
，从而
其中
。
【答案】（1）在方程两端分别对x 求导，得是由方程
所确定的隐函数。
（2）在方程两端分别对x 求导，
得
是由方程
所确定的隐函数。
从而
从而
其中
（3）在方程两端分别对x 求导，得方程
所确定的隐函数。
（4）在方程两端分别对x 求导，得
其中是由
从而其中是由方程
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所确定的隐函数。
6． 一均匀物体（密度为常量）占有的闭区域由曲面所围成。
（1）求物体的体积; （2）求物体的质心;
（3）求物体关于z 轴的转动惯量.
【答案】（l ）如图所示，由的对称性可知
和平面z=0, │x │=a, │y │=a
图
（2）由对称性可知，质心位于z 轴上，故
。
（3）
7． 求函数
【答案】
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，当x=1，y=1，△x=0.15，△y=0.1时的全微分.
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