2017年南开大学统计研究院845高等代数考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 设f （x ）在区间[a, b]上连续，g （x ）在区间[a, b]上连续不变号，证明至少存在一点使下式成立：
【答案】不妨设
（积分第一中值定理）。
，由定积分性质可知
故有
当当
时，由上述不等式可知时，
有
，故结论成立。
，由闭区间上连续函数性质，知
存在
，
记f （x ）在[a, b]上的最大值为M 、最小值为m ，则有
，使得
2． 求旋转抛物面
【答案】联立
从而结论成立。
在三坐标面上的投影.
，得
. 故旋转抛物面在xOy 面上的投影为
如图所示
图
联立区域.
同理，联立
得
. 故旋转抛物面在xOz 面上的投影为由
及z=4所
得
. 故旋转抛物面在yOz 面上的投影为由
及z=4所围成的
围成的区域.
3． 由y=8, x=2, y=0所围成的图形，分别绕x 轴及y 轴旋转，计算所得旋转体体积。
【答案】（1）图形绕x 轴旋转，该体积为Y 轴所得的立体）减去由曲线
；
（2）图形绕y 轴旋转，则该立体可看作圆柱体（即由x=2，y=8，x=0，y=0所围成的图形绕
，y=8，x=0所围成的图形绕y 轴所得的立体，因此体积为
4． 选用适当的坐标计算下列三重积分：
（1）
，其中
为柱面
及平面
所围成的在
第一卦限内的闭区域；
（2）区域；
（3）区域；
（4）确定。
【答案】（1）利用柱面坐标计算，
可表示为
于是
，其中闭区域由不等式
所
，其中
是由曲面
及平面
所围成的闭
，其中
是由曲面
及平面
所围成的闭
（2）在球面坐标系中，球面的方程为
，即
示为
（图1）
于是
图1 图2
（3）利用柱面坐标计算，可表示为
（图2）
于是
（4）在球面坐标系中，可表示为
于是
可表