2017年南开大学统计研究院845高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 计算下列积分：
【答案】（1）因为
原式
故
（交换积分次序）
由于
因此
原式
（2）因为
，故
（交换积分次序）
由于
（分部积分）
因此
原式
2． 求直线
在平面
上的投影直线的方程.
【答案】作过已知直线的平面束，在该平面束中找出与已知平面垂直的平面，该平面与已知平面的交线即为所求.
设过直线得由得
. 代入平面束方程，得
的平面束方程为
. 因此所求投影直线的方程为
3． 计算下列对面积的曲面积分：
，其中为平面
，其中为平面
，其中为球面
，其中为锥面
的部分。
【答案】（1）在上，直线
。在xOy 面上的投影区域D xy 为由x 轴、y 轴和
上上被柱面
在第一卦限中的部分；
在第一卦限中的部分；
的部分；
所截得的有限
所围成的三角形闭区域，因此
（2）在上，成的三角形闭区域。因此
。在xOy 面上的投影区域为由x 轴、y 轴和直线
所围
（3）
在
上
，
，
在
xOy
面上的投影区
域
。由于积分曲面关于yOz 面和zOx 面均对称，故有
于是
（4）如图所示，在xOy 面上的投影区域D xy 为圆域而函数xy 和yz 关于y 均为奇函数，故
。由于关于zOx 面对称，
图
于是