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一、证明题

1． 设f (x ) 为[a，b]上的有界可测函数，且

【答案】(反证法) 假设令

则必然存在某个

使得

这与题设矛盾，所以原命题成立. 2． 设f 为定义在区间一致收敛于f

【答案】因为

故对任意

从而

在

取

当

时，对任意

均有

内一致收敛于f

内的任一函数，记

证明函数列

在

内

那么

证明：f (x ) 在[a, b]上几乎处处为0.

二、解答题

3． 将函数

在

上展开成余弦级数.

所以由收敛定理可得在

上

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【答案】将f (x ) 作周期性偶延拓，得一周期为的连续偶函数

.

4． 求下列函数的导数：

【答案】

5． 设函数f (x ) 满足条件性.

【答案】因为 n=0, 1，2，... 时，

其中所以

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问此函数在上的傅里叶级数具有什么特

从而

同理可求

故 6． 设

(1) 试求(2) 证明【答案】⑴

易证

故有

即

(2) 对(1) 中(a) 式求k 的导数后，再将(a) 式代入得

(3) 由(a) , (b ) 有

代入上式后得

7． 设

试问k 为何值时，方程

其中

则

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因此，函数f (x ) 在

内的傅里叶级数的特性是

其中

(这两个积分称为完全椭圆积分) . 表示它们；

与的导数，并以与

满足方程

存在正实根。

如果方程

存在

【答案】

令