2017年湖南科技大学数学与计算科学学院613数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设f 为定义在
上的连续函数，a 是任一实数，
证明E 是开集，F 是闭集. 【答案】对任一点存在
的某邻域
故E 为开集. 下证F 是闭集.
设且
是F 的任一聚点，则存在F 的异点列在连续，从而
在
可见
使
故f 为闭集. 在
上有界.
使与
由
使当
因为f 在连续，从而由连续函数的保号性知，
时
即
从而
2． 证明：若
由致
上只有第一类间断点，则在的子列
【答案】
假设
密性定理，存在
不存在，这与
上无界，则对每一个自然数n ,
存在互异点列
从
的左方或右方收敛于
但
不收敛，即
只有第一类间断点矛盾.
二、解答题
3． 利用迫敛性求极限：（1）
【答案】（1）因为于是
而
由迫敛性得
（2）因为又因为
所以当
时
（2），
所以当
时
由迫敛性得
4． 设
（2）对
可找到相应的N ，这是否证明了趋于0? 应该怎样做才对；
由
设
即可. 所以，当
当
这个不等式成立的一个充分条
时，相应的时，相应的
求得
则当
定
这样才能证明
时
，
（1）对下列分别求出极限定义中相应的N :（3）对给定的是否只能找到一个N? 【答案】（1）对任意件为
当
即
因此取时，相应的
（2）在（1）中对义，
对任意正数
都找到了相应的N. 这不能证明趋于0, 应该根据数列极限
都找到相应的N. 对于本题，
由
（3）对任意的正数若存在N ，使得当n>N时，都有
也成立. 因此，对给定的
5． 求函数数.
【答案】易见u 在点得 6． 设
【答案】对
取
，指出
可能的间断点为
则当
树，
处可微，故由
在点
，若能找到一个N ，则可以找到无穷多个N. 处沿方向1 (其方向角分别为
) 的方向导
的所有间断点，并讨论它们的类型.
但
故对
为第二类间断点；
由于
所以是连续点；
也是连续点；
是连续点，否则为第一类间断点.
类似地讨论可知，对
易知
由此可见，当是完全平方数时，类似可讨论
7． 设C 是柱面计算曲线积分
【答案】由斯托克斯公式得
与平面
的情形.
的交线a 从x 轴正向看为逆时针方向，
I.
8． 计算下列二重积分：
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
【答案】(1) 原式(2) 曲线
将区域D 分为两部分和
其中在内
在
其中其中
其中
其中其中
内
所以