2017年湖南科技大学数学与计算科学学院613数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 证明公式：
这里数.
【答案】设S 为球面
则有
考虑新坐标系
它与原坐标系
共原点，
且
在新坐标系
中，
则
2． 设
在点
从而
的某邻域内存在且在点
可微，则有
【答案】应用中值定理有
由在
处可微知
所以
. 同理由在
处可微得
从而
平面为
坐标系的平面
，
轴过原点且垂直于该平面，于是有
在
时为连续函
这里的S 仍记为中心在原点的单位球面，将S 表示为：
二、解答题
3． 求幂级数
【答案】由于
的收敛域及和函数.
因此另外
因此幕级数 4． 设
求证递推公式：
【答案】因为
所以
5． 设
在
【答案】
由
有
因
正整数时有
当n 为负整数时有
由
知
代入上式得
记
的收敛域
的收敛域为及和函数为
上一致连续，则存在非负实数a 与b ，使得对一切
）在在
上一致连续，
所以对
对任意上有界，所以存在
使得
当
. 存在整数n ,
使得
均有且时
其中
因此，当n 为
，则使得
6． 设
【答案】令
求
所以
7． 设
【答案】
而
8． 设
【答案】令
则
所以平行六面体体积
9． 举例说明：瑕积分
【答案】例如瑕积负
收敛时
不一定收敛。
故瑕积分
故瑕积分
求由平面所界平行六面体的体积.
收敛，但
发散