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2017年湖南科技大学商学院613数学分析考研仿真模拟题

  摘要

一、证明题

1.

设级数

满足:

加括号后级数符号相同,证明

【答案】因为所以

又当

存在,即

时必有

从而

收敛,实际上两级数收敛到同一个数.

2. 试用聚点定理证明柯西收敛准则。

【答案】

收敛,令于是

设数列

满足柯西收敛准则的条件.

如果集合

只含有有限多个不同的实数,则从某一

的极限.

如果集合

至少

都含有集合

于是,对任给的

存在正整数N , 使得当

时,

,亦收敛. 收敛,所以其中则

存在. 对任意的

n ,存在

k ,使

又因为括号内符号相同,

收敛

且在同一括号中的

项起这个数列的项为常数,否则柯西条件不会成立. 此时,这个常数就是数列有一个聚点

假如

无限多个点. 这与取

整数N ,当对于任意使得

有两个不等的聚点

存在正时,

有存在N , 使得当因而,当

时,

故数列

收敛于

时,

矛盾. 故不妨设

则与

含有无限多个不同的实数,则由柯西条件容易得知它是有界的. 于是由聚点定理,集合

的聚点是惟一的,记之为 又因为是

的聚点,所以存在

二、解答题

3. 计算线积分

【答案】记S 是平面,面的单位法向量

其中C 为球面被球面,

与平面. 的交线,

从Ox 轴正向看去,C 是依反时针方向进行的。

所截下的那部分,取上侧,即取平

由斯托克斯公式得

4. 根据图写出定义在

上的分段函数

)的解析表示式

.

【答案】由直线的点斜式方程容易得到:

5. 计算

其中S 为圆锥表面的一部分

这里

为常数【答案】由于

6. 试求下列方程所确定的函数的偏导数

(1)

【答案】(1) 把看成所以

同理两边对y 求偏导数得

(2) 两边对x 求偏导数有

所以

两边对y 求偏导数,得

7. 讨论下列函数列在所给区间上的一致收敛性:

(1) (3)

【答案】(1) 方法一 易知当由于

(2)

(4) 时,

所以当n>e时有

在(0, 1) 内单调递减且

于是

(2)

的函数,两边对x 求偏导数,得