2017年湖南科技大学商学院613数学分析考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1.
设级数
满足:
加括号后级数符号相同,证明
【答案】因为所以
设
故
又当
存在,即
时必有
从而
收敛,实际上两级数收敛到同一个数.
2. 试用聚点定理证明柯西收敛准则。
【答案】
设
收敛,令于是
设数列
满足柯西收敛准则的条件.
如果集合
只含有有限多个不同的实数,则从某一
的极限.
如果集合
至少
中
都含有集合
于是,对任给的
存在正整数N , 使得当
时,
有
,亦收敛. 收敛,所以其中则
存在. 对任意的
n ,存在
k ,使
稩
又因为括号内符号相同,
收敛
,
且在同一括号中的
项起这个数列的项为常数,否则柯西条件不会成立. 此时,这个常数就是数列有一个聚点
假如
无限多个点. 这与取
整数N ,当对于任意使得
有两个不等的聚点
存在正时,
有存在N , 使得当因而,当
时,
故数列
收敛于
时,
矛盾. 故不妨设
令
则与
含有无限多个不同的实数,则由柯西条件容易得知它是有界的. 于是由聚点定理,集合
的聚点是惟一的,记之为 又因为是
的聚点,所以存在
二、解答题
3. 计算线积分
【答案】记S 是平面,面的单位法向量
其中C 为球面被球面,
与平面. 的交线,
从Ox 轴正向看去,C 是依反时针方向进行的。
所截下的那部分,取上侧,即取平
由斯托克斯公式得
4. 根据图写出定义在
上的分段函数
和
)的解析表示式
.
图
【答案】由直线的点斜式方程容易得到:
5. 计算
其中S 为圆锥表面的一部分
这里
为常数【答案】由于
则
6. 试求下列方程所确定的函数的偏导数
(1)
【答案】(1) 把看成所以
同理两边对y 求偏导数得
(2) 两边对x 求偏导数有
所以
两边对y 求偏导数,得
故
7. 讨论下列函数列在所给区间上的一致收敛性:
(1) (3)
【答案】(1) 方法一 易知当由于
(2)
(4) 时,
所以当n>e时有
即
在(0, 1) 内单调递减且
于是
(2)
的函数,两边对x 求偏导数,得
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