2018年华中科技大学数学与统计学院801高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、分析计算题
1． 计算
【答案】（1）当时，用第1行的（-1）倍分别加到其它各行得
按第1行展开得
（2）当
时，将最后一列拆成两项和，所以
由对称性，又有
①
②
再由
，可解得
2． 令的第
（2）对任意
矩阵A ,
与A 是否相似？
是
作为第
的一个排列, 对于任意一个
行所得矩阵.
矩阵A , B
' 矩阵A , 令表示依次以A
（1）证明:对任意
①
【答案】 （1）
而（2）由于比如
的
的元等于AB 的元, 即为
②
元也等于②式. 故
与A 的行的位置发生变化, 所以A 与
不一定相似.
则
故A 不相似于
（因为相似矩阵有相同的特征值）.
3． 用消元法求下列向量组的极大线性无关组与秩：
分别排为它的1, 2, 3, 4列
.
【答案】作下列矩阵A , 把
对它作初等行变换化成阶梯形
.
最后的矩阵中第1, 2, 4列构成列向量组的极大线性无关组，秩为3. 而初等行变换不改变列向
量之间的线性关系.
故
类似于
4． 设
的第1, 2, 4列也构成的列向量组的极大线性无关组，
即
是一个极大线性无关组，秩为3.
是
的一个极大线性无关组，秩为
3.
中的计算过程可得
（1）求A 的特征值与特征向量; （2）求
.
，所以A 的特征值为
, 得特征向量
，其中
为数域P 为不为零的任意常数.
故A 属于特征值1的全部特征向量为数.
（2）
令
，其中
为数域P 中不全为零的任意常
【答案】 （1）计算可得当
时，由
故A 属于特征值-2的全部特征向量为当
时，由
，得线性无关的特征向量
5． 设V 是数域P 上3维线性空间, 线性变换
在V 的基
问, 可否在V 的某组基下矩阵为
下矩阵为