2018年华南理工大学数学学院864高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设A ，B ，U , V 均为
可以由
矩阵，
且线性表示，同理
证明：存在可逆矩阵T , 使得因为
可以由
所以
线性表示，故A ，
【答案】将A , B 按列分块，
记
B 的列向量组等价，于是存在可逆矩阵T , 使得
2． 设R 的线性变换在标准正交基下的矩阵为
（1）求A 的特征值和特征向量. （2）求
的一组标准正交基, 使A 在此基下的矩阵为对角矩阵.
所以A 的特征值为
当
时, 特征方程为
此系数矩阵秩为1, 故A 有两个属于1的线性无关的解向量
从而属于1的所有特征向量为当
时, 特征方程为
其中
不全为零.
【答案】（1）计算可得
于是原方程组等价于
故A 的属于4的线性无关特征向量为为任意常数.
从而属于4的所有的特征向量为其中k.
（2） A 为实对称阵, 从而存在正交阵T , 使
把先正交化:
正交化, 再单位化.
再单位化:
故组成了A 的标准正交基, 且A 在下的矩阵为对角矩阵.
3． 设A ，B 为同阶正定矩阵.
①若
②若
且
为正定矩阵，证明：
故
又因为A ，B 为正定矩阵，故由第28题知，故其乘积
②若
也是正定矩阵. 正定，则
不一定正定. 例如：
显然都是正定矩阵. 但易知：
显然
就不是正定矩阵（因为
）.
是正定矩阵. 又由
正定且与
可换，
也是正定矩阵.
为正定矩阵，问：
是否一定是正定矩阵？
【答案】①因为
4． 设是两两互异的数，证明如下方程组有唯一解，并求它的解
.
【答案】方程组的系数行列式
故方程组有唯一解. 设方程组的唯一解为知
由韦达定理，得
令多项式
二、证明题
5． 设似, 记为
是线性空间V 的两个线性变换. 若存在可逆线性变换S 使. 证明:
与
故
且
在同一基下的矩阵相似. 又若
, 则
因此, 线性变换的相似关系是等价关系. ②设
在基
下的矩阵为
若
且
即
6． 设
与
相似.
由上倒推可得
反之, 若
又S 在该基下矩阵为C.
则由于线性变换与其所对应的矩阵的映射是一个同构映射, 故
则
即
则称
与
相
①线性变换的相似关系是等价关系； ②在有限维空间中, 【答案】①因为再若
是欧氏空间V 的两个子空间, 证明: