2018年济南大学数学科学学院881高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为常数，则
A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由于所以又显然有基础解系.
考虑到
2． 设A 、B 均为2阶矩阵，A*, B*分别为A 、B 的伴随矩阵. 如果
的伴随矩阵为（ ）.
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题设
可逆，由于
且
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矩阵，
是非齐次线性方程组的3个线性无关的解，为任意
的通解为（ ）.
是非齐次线性方程组是对应齐次线性方程组
（否则与
有解矛盾），所以
的三个线性无关的解， 的两个线性无关的解.
从而
是
的一个
是. 的一个特解，所以选C.
则分块矩阵
所以
3． 设
A.
B.
C.
D. 【答案】B 【解析】
秩
或
故
阶矩阵
若矩阵A 的秩为
则a 必为（ ）
但当a=1时，
秩
4． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ,
则有（ ）.
A. 交换A 的第1列与第2列得B B. 交换A 的第1行与第2行得B C. 交换A 的第1列与第2列得- B D. 交换A 的第1行与第2行得- B 【答案】C
【解析】解法1:题设又
所以有
*
*
*
*
*
*
*
*
与分别为A , B 的伴随矩阵，
所以有
即题设
因此
即
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右乘初等阵
所以
得
解法2
5． 在n 维向量空间取出两个向量组, 它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
中选三个向量组
，从而否定A , 若选
若选故选B.
, ，从而否定C ,
二、分析计算题
6． 设
表示实数域R 上全体2阶方阵按加法和数乘构成的R 上的线性空间, 定义
上的一个
双线性函数为
其中
（1）证明f 是（2）求f 在
上的对称双线性函数. 的基
.
下的度量矩阵.
【答案】（1）由f 是双线性函数, 只需证明f 是对称的, A , B 如题设, 则
故f 是
上的对称双线性函数。
下的度量矩阵为
7． 设n 阶方阵
【答案】只须证C 的特征值事实上, 因为所以
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（2） f 在基
且C 与A 、B 可交换, 则C 为幂零阵。
全是0即可. 所以
又因为
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