2018年华南师范大学数学科学学院813高等代数(数学)考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，
如
A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E所以有
B （E-A ） =E
又C （E-A ）=A故
（B-C ）（E-A ）=E-A
结合E-A 可逆，得B-C=E. 2． 设均为n 维列向量，A 是
A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有
由上述知因此
线性相关，所以线性相关，故选A.
秩A , 则线性方程组（ ）.
于是
线性无关时，若秩
线性相关. 由此可否定C ，D. 又由
则
线性无关，
线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则
则
为（ ）.
矩阵，下列选项正确的是（ ）.
线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.
3． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
A. B. C.
有无穷多解 必有惟一解
D. 【答案】D 【解析】
4． 二次型
A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B
必有非零解
阶方阵，且秩秩
是（ ）二次型.
【解析】方法1
方法2设二次型矩阵A , 则
是不定二次型，故选B.
由于因此否定A , C, A中有二阶主子式
从而否定D , 故选B.
5． 设A 、B 为满足的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设设
由于性相关. 又由方法2:设考虑到
即
故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关.
并记A 各列依次为
从而
线
由于不妨
可推得AB 的第一列知
，
由已知及以上证明知B' 的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于
所以有
所以有
二、分析计算题
6． 设
由由但及故 7． 设二次型
使得
【答案】因为是A 的特征多项式的根, 所以齐次线性方程组
有非零解
不能有整根.
的矩阵为A , 是A 的特征多项式的根, 证明存在
中的非零向量
是一个整系数多项式，试证：如果
的整根，则及
及
为奇数，则c 为奇数.
为奇数，
为奇数， 与
都是奇数，那么
不能有整数根.
【答案】设c 为
是整系数多项式，
是不能同时为奇数的矛盾.
于是
8． 设
是一个
试求【答案】
矩阵，定义
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