2018年江西师范大学数学与信息科学学院847高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设A 是一个n 级复矩阵, 是
的k 重根, 则【答案】设
其中
互不相同,
（1）先证必要性. 设A 相似于对角阵, 即存在可逆阵
使
且
是A 的特征多项式, 求证:A 可对角化的充分必要条件是如果n
的秩等于
则
所以秩类似可证
（2）再证充分性. 由于
因此在在在
的基础解系所含向量为中有
个
且T 为可逆阵, 而
那么
中, 有个线性无关的特征向量为
个线性无关的特征向量为
中有个线性无关的特征向量为
而且不同特征值的特征向量又线性无关, 令
专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！
此即
特征值的代数重数=它的几何重数.
故A 可对角化. 注本题是证明:A 可对角化 2
．
证明：矩阵方程有解
在有解情况下，当
程有唯一解；
当
【答案】
因为
的列向量的极大无关组.
从而B 的列向量
可由A 的列向量线性表示，令
时，方
时
，方程有无穷多解.
所以A 的列向量组的极大无关组即为矩阵（A ，B ）
则矩阵1
若
有解C ，即
是方程的解.
则B 的列是A 的列的线性组合. 因而A 的列向量组与（A ,
B ）的列向量组等价.
所以
在有解时，记（1
）
（2）
3． 证明元素为【答案】设
若
行列式的性质得到
其中
为B 的第i 列
有唯一解
有无穷多解.
均有无穷多解，所以矩阵方程
有唯一解
时，
线性方程组
0或1的三阶行列式之值只能是
那么否则，不失一般性，可设（如果中有一不然后，由
为
0时，交换A 的两行，可使的位置不为0, 而值只相差一个符号），这时
的值只能为0或，从而由①式，可知的值只可能是或
专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！
4． 计算
【答案】在原行列式上加一行，加一列，得
5． 选择i 与k 使
成奇排列.
【答案】
成偶排列；
6． 设是n 行维欧几里得空间V 的对称变换, 则的值域
【答案】由线性变换的秩与零度的和为n , 在由那么于是
则存在
注意到
故
是的核使
则
是的核 于是
的正交补.
中分别取正交基
的正交补.
二、证明题
相关内容
相关标签