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一、解答题

1． 设

求证: （1）（2）

与

存在;

在（0, 0）点不连续;

; 同样因f （0, y ）=0, 得

.

（3）f （x , y ）在（0, 0）点可微. 【答案】（1）因f （x , 0）=0, 所以（2）容易求出

令y=x,

故

在（0, 0）点不连续. 同理可知

在（0, 0）点不连续. （3）由于’

按微分定义, 函数在（0, 0）点可微, 且

导数连续是可微的充分条件, 不是必要条件.

2． 求在区域D 上的最大值和最小值.

【答案】由上的最值问题.

令当

或

即

, 则

或时, z=f （x , y ）取最大值

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是有界变量, 当

或

时, x 是无穷小量, 所以

可见偏

=0.再考虑边界, 且f （0, 0）得稳定点为（0, 0）

;

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当

3． 设

或即或时, z 取最小值.

, 最小值为

.

将其与f （0, 0） =0进行比较知, 所求函数的最大值为

令

（1）f （x ）在

. 求证:

上可导,

且导数只在

处不连续; 处不连续

.

, 且

, 所以由连续性定理知

（2

）f （1）在（0, 1）上可导, 且导数只在【答案】（1）因为

. 又当

时,

因此在上连续, 且

, 从而

在上一致收敛. 于是函数在

上可导, 且

又因为在上可导, 导数在点处不连续

, 所以

在（2）

上可导, 且导数只在点处不连续.

, 故

由（1）知f （x ）在（0, 1）上可导, 且导数只在点

处不连续.

4． 试在数轴上表示出下列不等式的解:

（1）（2） （3）

【答案】（1）由原不等式得

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不等式组①的解是

不等式组②的解是

图1

（2）原不等式同解于不等式在数轴上表示如图2所示.

图2

（3）原不等式的解x 首先必须满足不等式组

解得即

当

时,

不可能成立, 故原不等式无解.

5． 利用微分求近似值

:

（1）（2）（3）

（4）则

即（2）令由（3）令所以

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故的解集是

在数轴上表示如图1所示

.

由此得原不等式的解为

原不等式两边平方得

.

,

,

. ,

, 则

得

, 则

,

,

【答案】（1）令