2018年北京邮电大学理学院601数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、计算题
1． 求级数
【答案】方法一令= 0.由逐项积分定理得
令
, g （0）=0, 则由（1）式得
从而即得
, 于是
容易证明
在x=1收敛, 再根据阿贝尔引理得
方法二 先对原级数进行如下分解:
（2）
又由逐项积分定理,
, 有
再由阿贝尔引理得
联合（2）, （3）式得
的和.
f 0） , 容易求出此幂级数的收敛半径R=1, 且（
2． 判断下列级数是绝对收敛、条件收敛还是发散：
（1）（2）
.
且绝对收敛.
. 所以由Leibniz 判别法知，级数
条件收敛.
收敛.
收敛，
;
【答案】（1）因为
所以由级数的比较判别法知，级数（2）因为又
3． 设
【答案】
单调递减且
发散，故级数
其中, f （z ）为可微函数, 求Fxy （x , y ）.
4． 应用格林公式计算曲线积分的一段.
【答案】由于原积分曲线不是封闭曲线, 不能应用格林公式, 加上从（﹣a , 0）到（a , 0）的直线段L 1, 则有
其中D 为封闭曲线L+ L1所围成的区域, 由极坐标变换,
即原积分
5． 设函数f 在
.
上具有二阶导数, 且
.f 在（0, a ）内取得最大值. 试证:
是f 的一个极值点. 由于
和
上对
,
并且f 应用拉格朗
|其中L 为上半圆周
从（a , 0）到（﹣a , 0）
【答案】设f 在（0, a ）内的点在（0, a ）
内具有二阶导数, 根据费马定理
,
取得最大值, 于是
,
分别在区间
日中值定理, 得到
其中
6． 设
【答案】对于故
对于下和s , 由于可积.
7． 过直线
【答案】设
, 所以s=0.由于
, 所以由定理知f （x ）在[0, 1]上不
’试求f 在[0, 1]上的上积分和下积分; 并由此判断f 在[0, 1]上是否可积. 的任意分割T , 在间
上,
, 所以有
因为
’, 所以
作曲面切点坐标为
的切平面, 求此切平面的方程. , 则
曲面在点P 0的法向量为即
, 又过直线T 的平面方程为
其法向量为, 于是有
解之得
或
故所求的切平面方程为
_ 或
8． 已知
【答案】令
则
求
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