2018年北京工商大学理学院714分析与代数之数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1． 设质点受力作用, 力的反方向指向原点, 大小与质点离原点的距离成正比, 若质点由（a , 0）沿椭圆移动到（0, 6）, 求力所作的功.
【答案】椭圆的参数方程为:
由于力的反方向指向原点, 则:（设k 为比例系数）
则
2． 求下列数集的上、下确界, 并依定义加以验证:
（1）（2）
（3）（4）
【答案】（1）确界.
显然有是集合S 的一个上界. 对任意的
, 则
即（2）
则
（3）设
不妨设S 的上确界.
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S 的上、下确界分别为
不妨设
取
. 这里只证明是上
且. 因此, 是S 的上确界.
的上、下确界分别为
故S 无上界, 即S 的上确界为
和1. 1是S 的一个下界, 并且
取
.
任何大于1的数都不是S 的下界, 所以1是S 的最大下界, 即1是S 的下确界. 对任意的
内的无理数）的上、下确界分别为1和0. 这里只证明1是S 的上确界.
由无理数的稠密性可知, 存在无理数
于是
并且
因此, 1是
（4）的上确界为1, 下确界为因为S 中的最小元素为所以是
存
S 的最大下界, 即是S 的下确界. 由于所以1是S 的一个上界, 对任意的
因此, 1是S 的上确界.
在使得于是取且满足不等式
3． 在下列积分中引入新变量u , v 后, 试将它化为累次积分:
（1）（2
）（3
）
【答案】（
1
）由
若其中其中
得
, , 若
则
, 若
.
D 与如图1, 图2.
图
1
h
图2
于是
（2）由
得
,
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, 于是
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（3
）由于是
4． 求下列不定积分:
（1
）（3）
【答案】
（1）令
（2）
（4
）
, 则
（2）令于是
（3）令令
, 则
，则
, 所以原式
所以
原式
第 4 页，共
30 页
得
,
则, 取
,
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