2018年北京市培养单位数学与系统科学研究院616数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 证明:若函数
则对【答案】令有
于是, 对任给的
有
2． 设
, 在原点的某邻域内连续, 且
, 而
所以
证明:
将
与
在区间
内二阶可导, 且对
有
在点作泰勒展开,
有
.
【答案】因为
3． 设f （x ）在[0, 1]上连续可导, 证明:
【答案】方法一用积分中值定理. 因为
而
所以
方法二用分部积分法. 因为
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,
而
所以
故
4． 设函数等式:
【答案】设
则
在区间
上严格递增且连续
,
注意到
故
为
的反函数, 试证成立
二、解答题
5． 设f , g 在
上可积, a n , b n 和
分别表示f 和g 的傅里叶系数, 则
【答案】写出f+g和f －g 的巴塞伐尔等式:
将上两式相减可得结论.
6． 讨论级数
【答案】由
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在上的一致收敛性.
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可得和函数
考察
由于
, 所以
, 当
于是
, 当
时都有
而当
时, 注意到
, 对适当大的n ,
有
于是对上述
由式（1）、式（2）知,
, 当n>N时,
, 当n>N
,
即
故原级数在
7
． 计算广义三重积分
其中D 为【答案】作变换:
.
, 则
I
所以
其中为再作球坐标变换
则
且
. 而
第 4 页，共
28 页
时, 有
, 都有
时有
上一致收敛.
.