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一、证明题

1． 设

与

在xy 平面上的点集E 上一致连续. 与把点集E 映射为uv 平面上的

,

在E 上一致连续.

使得对一

切

, 因为f （u , v ）在D 上一致连续, 所

以

, .

, , 只要

其中

当

, --故复合函数

,

时有

在E 上一致连续.

2． 设f （x ）在[-1, 1]上可积, 且在点x=0处连续设

证明

. , 有,

就有.

从而

.

, 对一

切

,

, ,

对一切

在E 上一致连续, 于是对上述

的

点集D , f （u , v ）在D 上一致连续. 证明复合函数

【答案

】

, 只要又

【答案】因为f （x ）在[-1, 1]上可积, 所以f （x ）在[-1, 1]上有界, 设界为M ,

即

.

|时,

有. 又因为f （x ）在x=0处连续, 所以当通过计算易知

为此, 将积分分为三段进行估计:

>

而

, 因此, 欲证结论成立, 只需证

综上可知, 原结论成立.

3． 证明:若函数f 在点x 0处有

【答案】假设存在由

于是此时有 4． 设

收敛

，

证明

：

的前n 项和S n . 则

对上式两边取极限，从而

即

5． 求x>0, y>0, z>0 时, 函数

在球面

上的极大值; 并证明当a , b, c为正实数时, 有

【答案】构造拉格朗日函数

令

解出驻点为x=r,

下面来判断这个驻点为极大值点. 由

可得L 在驻点P 0处的海森矩阵

.

. 取

使得当

, .

时有可知, 存在

, 则当

,

. , 由

, 于是此时有, 使得当

时,

时有,

时, x 0为f 的极小值点.

,

, 则x 0为f 的极大（小）值点.

及极限的保号性知,

;

,

故x 0为f 的极大值点. 同理可证, 当

【答案】记级数

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显然H （P 0）负定, 故驻点为极大值点, 而且极大值为, 因为f 在球面.

到当动点趋向于边界线（其上x ,

y , z之一为0）时

, 即

当x>0, y>0, z> 0且满足取

两边平方, 即得

6． 证明:若f （x ）在[a, b]上连续,

且使得

. 又若

【答案】利用反证法. 若

（或<0）,

这与

令

则当

且

时有g （x ）<0, 从而

, 但

矛盾. 所以

使得

.

时

, f （x ）>0, 当

若f （x ）只有一个零点x 1, 不妨设当

, 上式变为:

时, 有

.

故f 的最大值只能在内部取到, 而内

,

位于第一卦限的部分上连续, 所以f 必在其上取到最大值. 注意

部有唯一的极大值点, 因此这个极大值点也必是最大值点, 且最大值为

, 则在（a , b ）内至少存在两点x 1, x

2,

, 这时f （x ）在（a , b ）内是否至少有三个零点？

, 则f （x ）在（a , b ）内恒正或恒负, 从而

时f （x ）<0.

矛盾, 故又当不妨设再令

, 使得时f （X ）>0,

使得

.

,

时f （x ）>0.

.

时, 若f （X ）只有两个零点

时

, 同样引出矛盾. 故

二、解答题