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一、解答题

1． 抛物线

【答案】设圆故

把圆

分成两部分, 求这两部分面积之比.

表示另一部分的面积, 则

面积为

于是

表示图中阴影部分的面积,

图

2． 利用适当的坐标变换, 计算下列各曲面所围成的体积:

（1）（2）

【答案】（1）令

从而

（2）令

则

从而, 所求体积

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.

3． 求由曲线

,

所围图形的面积.

【答案】如图所示, 所围图形的面积为

图

4． 设f （x ）在

上可积, 则

【答案】先证明

事实上, 由定）且

,

根据A —法, 时,

有

特别地,

有

由f （x ）在又因为于是,

上可积可知,

它在所以对上述, 当

时, 有

上有界, 即

. , 当

时,

, 有 有

在

上一致收敛. 于是

,

, 当

收敛（即

在

. 上一致收敛. 关于y 一致收敛）

, 及

关于x 单调

（

固

第

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即

5． 讨论下列函数列在所给区间上的一致收敛性:

【答案】（1）方法一 易知当由于即

时,

, 所以当n>e时有

在（

0, 1

）内单调递减且

于是

故方法二 因为时有

在（0, 1）内一致收敛.

的极限函数f （x

）=0, , 则

. , 因此对一切0

, 当, 于是

故

在（0,

1）内一致收敛.

时,

而

所以（3）令

由于

所以

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,

时恒有

,

. 取

,

则当n>N

（2）易知当

在[0, 1]上不一致收敛.