2017年华侨大学数学科学学院723数学分析考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 证明数列
【答案】显然
设即
有上界
解得
2． 设函数
求证：如果
在
上连续，在
内可导，且
严格单调增加，则
都严格单调増加. 【答案】
不妨设在
使得
又因为
严格单调增加，所以
从而
从而
严格单调増加. 同理可ill
单调增加.
(
否则用
分别代替
根据柯西中值定理，存
则
的极限存在，设
在
中，令
•得
由单调有界定理，
下证
的极限存在，并求其值. 有上界
.
3． 证明数列
【答案】由可知又
单调递减，从而
解得
4． 设函数f 在区间I 上连续，证明：
(1) 若对任何有理数【答案】(1)
设当
为有理数时(2)
设有两个实数数从而
.
和
存在而当
满足
故f
在上严格递增.
(
设
时
有
则在I
上有
则f 在上严格増.
使
又因为
使得
：
可知时
从而
再由
存在有理数
知，
并且对于正
两点连续. 由) ，使得当.
由有理数的稠密性知，
存在有理数
所以
(2) 若对任意两个有理数
由f
的连续性得
也为0，于是，在
上
存在
.
有下界.
收敛，其中
并求极限
为中的任一无理数，由有理数的稠密性知，
存在有理数列
因为f (x ) 在上连续，所以f (x ) 在
二、解答题
5． 求下列极限：
；
（a 为给定实数）
【答案】
6． 讨论下列函数在给定点或区域上的连续性：
(1) (2)
【答案】(1) 因为
而当
时有
所以
即当当
时f (x ，y ) 连续. 时，由于
所以f (X ，y ) 在点(0, 0) 不连续. (2) 函数的定义域为当
上任一点
当
时有
于是
则f (x , y) 在y 轴上处处连续，故f (x , y) 在其定义域上是连续的.
时，由初等函数的连续性知f (x ，y ) 连续. 下面只考虑x=0(即y 轴) 上点的连续性. 对y 轴
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