当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 设

【答案】

则.

证明f (x ，y ) 在D 上连续，但不一致连续.

由极限的四则运算法则知

所以f (x ，y ) 在点在D 中取两个点列

连续，从而f (x , y) 在D 上连续.

则

但

所以f (x , y) 在D 上不一致连续.

2． 设

【答案】因为又由

与

是[a, b]上的单调函数，证明：若

与

都绝对收敛，则

在

[a, b]上绝对且一致收敛.

是[a, b]上的单调函数，故对任意

> 均绝对收敛，

得收敛，从而

在[a, b]上

一致收敛，即在[a，b]上绝对且一致收敛.

3． 证明：对于由上、下两条连续曲线与的平面图形A , 存在包含A 的多边形的极限存在且相等。

【答案】设等分分割

以及两条直线

使得当

与所围

时，它们的面积

以及被A 包含的多边形

取

于是，分别取

与

在

上的每一段，相连构成多边形

第 2 页，共 34 页

分别取与在上的每一段，

相连构成多边形因此包含A ，A 包含又因为

而与奋：上连续，因而可积，且

因此

4． 设函数项级数在D 上一致收敛于

【答案】不妨设存在

对任意

在D 上一致收敛于

对任意

有

均有

因

在D 上一致收敛于

从而，对任意

所以

在D 上一致收敛于

故

函数

在D 上有界，证明级数

存在N>0, 当n>N时，对任意

二、解答题

5． 求

【答案】设当方程在

当没有实根；

当间

时，内，

故用牛顿切线法求近似根应取

迭代过程如下：

第 3 页，共 34 页

的实根到三位有效数字

则

于于是

于是

在是在

在

上严格递增；又上严格递减.

因为上严格递増. 因为内. 由于

|所以方程在所以方程在该实根属于

在区

所以上

时，

时

，

上存在惟一实根；

上没有实根，因此，

方程的惟一实根在

因此，取 6． 设

【答案】因为

作为近似根。 求极限

且

所以当时，

当

7． 讨论积分

时，

的敛散性. 【答案】先讨论令

即

则

当所以由

时，

单调递减趋向于零. 又

时，收敛；

有

由柯西准则知，发散. 再由

的单调有界性，根据

法知，与具有相同的敛散性.

【答案】

第 4 页，共 34 页

的敛散性.

有

法知，当

8． 求由下列参量方程所确定的函数的二阶导数