2017年华侨大学数学科学学院723数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
具有性质
【答案】(1) 由
得
即(2)
令令 2． 设
在
上连续可微，并且
上连续，
上一致连续，从而则存在.. 在
上一致连续，对于且时，有
所以
根据柯西准则，
此即表明
3． 证明曲线积分的估计式：利用上述不等式估计积分
【答案】因为
其中L 为AB 的弧长，并证明
并
发散，这与已知条件矛盾，所以假设不成立，
即应有时，有在
存在
对任给A>0, 存在_
上也一致连续.
使得
如果
(当
时) ，
其中C 为一常数，试证
：
【答案】
在
若由于当故当
在
则有
对
两边关于求偏导数得
证明：
这里又
为曲线AB 上任一点的切向量的方向余弦； 有
圆的参数方程为
而
从而
4． 证明下列命题：
(1) 若
在
上连续増，
则(2) 若
为在
上的增函数。
上连续，且
则
为
【答案】(1) 由
在
上连续及洛必达法则，得
因此F (x )
在
点右连续，
从而
在
上连续，又当
时，
根据积分中值定理，存在
使
所以
由故
在为
上单调增，得上的増函数。
于是
故由迫敛性知
上的严格增函数，
如果要使
在上为严格増，
试问应补充定义
从而当
时，
(2) 由题设，可得因此
在内可微，且
由而
知，函数故
为
在上非负，且不恒为零，所以内的严格增函数. 因
从
所以补充在
上严格增。
使函数成为上的连续函数，再由可得
二、解答题
5． 求幂级数
【答案】由于
因此另外
因此幕级数
6． 求一曲线
的收敛域为使得在曲线上每一点
即
又由于
7． 求函数数.
【答案】易见u 在点得
的收敛域及和函数.
的收敛域
及和函数为处的切线斜率为
且通过点
【答案】由题意，有
过点即
在点
故因而所求的曲线为
) 的方向导
处沿方向1 (其方向角分别为处可微，故由
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