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一、证明题

1． 证明：若f (x ，y ) 在有界闭区域D 上连续，g (x ，y ) 在D 上可积且不变号，则存在一点使 得

【答案】不妨设

令M , m分别是f 在D 上的最大、最小值，从而

若若

则由上式

•则必大于0, 于是

由介值性定理，存在

使得

即

2． 证明数列

收敛，因此有公式

式中

577216... 称为尤拉常数，且当

所以

时，.

并利用该公式求极限

【答案】因为

于是有

各式相加得

于是

即所以

下界. 其次

单调递减. 从而数列{xn}收敛，设

即

于是任取

即可.

它的近似值为0.577216，或表示成利用上面的结论知

两式相减得

所以

3． 设f 在

【答案】设

上连续

证明：存在

中最小者为

最大者为

使得

则有

若若

理，可以得知存在

4． 证明：若函数

【答案】令

在区间或.

对

则取在区间使得

内二阶可导，且对

有

将

与

在

点作泰勒展开，有

于

是，对任给的

有

有

则对

就能满足题中要求.

上应用连续函数的介值性定

二、解答题

5． 设

均为正整数数列，

证明:数列

均为正整数数列，利用已知的递推关系式可得

的极限存

在，并求该极限值.

【答案】当

时，由

进而有

记下界.

另一方面

，

理，

6． 设

存在，记为

在

即

这表明数列

单调递减. 由单调有界定解之得

则上式可化为

由此易得，

这表明数列

有

两边取极限，可得

在平面上二次连续可微

，

的偏导数表示

(1) 用u 关于(2) 用u 关于【答案】 (1

) (2

)

的一、二阶偏导数表示

7． 设：

【答案】

)

8． 将函数

在

上展开成余弦级数.

其中为可微函数，求

【答案】将f (x ) 作周期性偶延拓，得一周期为的连续偶函数

.