2018年曲阜师范大学管理学院864数学分析B考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 设于
【答案】显然, 由题设知即
所以对一切n 都有
的一个下界
.
即在. 设
即对
又由
两边取极限得
所以
递增. 由
在
知,
是
的一个上界. 由单调有界定理知, 的两边同时取极限, 得到
得
.
的极限都存
于是, 当
递减, 并且0是
时,
记
证明:数列
的极限都存在且等
2． 设E 为平面上一个有界闭集, 连续函数f 将E 一对一映为平面上的点集F , 证明:（1）F 也是有界闭集; （2） f 的逆映射也是连续函数.
【答案】（1）由E 为有界闭集, f 为连续函数, 显然F 是有界的. 下证F 为闭集. 设
为F 中的任意一个无限点集, 对于每个
即存在
的子列
存在一个使
则
从而为聚点, 即F 中的点均是聚点, 从而F 为有界闭集. （2）由f 是一一映射, 知由令上述由
3． 证明:若f 在[a, b]上连续, 且
, 又若
, 则在（a , b ）上至少存在两点
, 这时f 在（a , b ）上是否至少有三个零点？
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的
它必有聚点满足
存在. 并且对当
时,
时,
存在
使得 从而
在
连续.
在连续, 即当
的任意性, 知是F 上的连续函数.
, 使
【答案】假设对任意的
, 使与
均有f x ）, 则由连续函数根的存在定理知, （在（a , b ）或
, 这与
矛盾. 故至
内恒正或恒负. 于是,
根据积分不等式性质有
少存在一点
且f （x ）在
假设f （x ）在（a , b ）内只有一个零点则
每个区间内不变号（根据连续函数根的存在定理）. 故有
在两边也异号. 所以
在两边同号,
但
由此知f （x ）在两边异号. 又函数
即g （x ）在（a , b ）内除一个零点外恒正或恒负, 从而由g （x ）的连续性可得
矛盾. 故在（a , b ）内至少存在两点, 在（a , b ）内至少存在三个零点
假设在（a , b ）内只两点
,
, 使得
, 则
即
, 且f （x
）在
, 使得
下证若
则f （x ）
每个区间内不变号. 从而由
推广的积分第一中值定理, 结合上式, 得
即
, 其中
, 所以由上式知,
f x ）从而知（在在
. 考虑函数内符号分别为正、负、正（其他情况证明类似）
内的符号分别为正、负、正, 故h （x ）在
但
矛盾. 可见在（a , b ）内至少有三个点
使得
正. 又h （x ）是连续函数, 所以
. 因为
与由于
每个区间内恒异号,
f x ）f x ）两边异号, 同理可证（在两边也异号, 设（在区间
二、解答题
4． 设有一质量分布不均匀的半圆弧
求它对原点（0, 0）处质量为m 的质点的引力. 【答案】设引力系数为k , 则对任一点（x , y ）, 有
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, 其线密度（a 为常数）,
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故
且
5． 设
,
, .
. （1）计算
, 其中L 为
螺旋线x=acost, y = asint, z = ct
（条件下A 为有势场, 并求势函数.
【答案】 （
1
）
）
; （
2）设A= （P , Q
, R ）, 求rotA ; （3）问在什么
（2）
（3）由（2）知, 当A=1时, rotA=0, 此时A 为有势场, 势函数
6． 求下列函数所表示曲线的渐近线:
（1）（2）（3）
【答案】（1）由
得
再由
得b=0.所以此曲线有水平渐近线y=0.又因为
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