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一、证明题

1． 已知

证明:

则

内严格单调递增.

因此

则

所以又

在

内严格单调递增.

此即

2． 若f （x ）在R 上存在三阶连续导数, 且

, 有

*

证明:f （x ）至多是二次多项式. 【答案】只需证:将

在X 处作泰勒展开

将上两式代入所给的等式中, 比较两端可得

当

时, 有

由三阶导数的连续性, 有

3． 证明下列命题:

（1）若f （x ）在[a, b]上连续增,

此即

【答案】令所以又再令

在

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则F （x ）为[a, b]上的增函数. （2）若f （x ）在

上连续,

且

, 则

为

？

【答案】（1）由f

（x ）在[a, b]上连续及洛必达法则,

得

因此F （x ）在x=a点右连续, 从而F （x ）在[a, b]上连续,

又当

时,

根据积分中值定理, 存在由f （x ）在[a, b]上单调增

,

得故F （x ）为

[a, b]上的增函数. （2）由题设,

可得

.

因此

在

内可微, 且

由

从而

故_

为

内的严格增函数. 因

所以补充在

, 使函数上严格增.

成为

上的连续函数,

再由

, 可得

知,

函数（x-t ）f

（t

）在

上非负

, 且不恒为零, 所以

,

, 使

从而当

. 所以

时,

上的严格增函数, 如果要使

在

上为严格增, 试问应补充定义

二、解答题

4． 设f 在[a, b]上可积, 且

【答案】

, 试问

在[a, b]上是否可积？为什么？

在[a, b]上是可积的. 事实上, 由于f （x ）在[a, b]上可积. 从而有界, 设

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任给当

, 由于在. 且

上一致连续, 因此对上述, 存在时, 有

（*）

由于f （x ）在

[a, b]上可积, 对上述正数和由可积第三充要条件知, 存在某一分割T ,

使得在T 所属的小区间中,

注意

而这些小区间的长至多为

5． 根据定义叙述在某个

内有定义, A 为定数. 若存

的x , 使

得

上的傅里叶级数具有什么特

, 总存在满足不等式

不以益为极限, 记为

问此函数在

的所有小区间

上, 于是

的总长, 即

:而在其余小区间. 由式（*）知另一方面, 至多在

. 故由可积的第三充要条件知

上

,

在[a, b]

上可积.

上

由以上可知, 在T 的小区间

【答案】

这个命题的叙述为:设函数f 在点

的某个空心邻域

便得对任意的正数则称当

6． 设函数f （x ）满足条件

:性？

【答案】因为n=l, 2, …时

所以

同理可得

7． 确定下列幂级数的收敛域, 并求其和函数:

（1）

（2）（3）

（4）

【答案】（1）设

则

即f （x ）在

时

,

内的傅里叶级数的特性为

, 收敛半径R=﹣l. 当x=1时级数发散, x=-l时级数

也发散, 所以收敛域为（﹣1, 1）. 设

, 则