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一、证明题

1． 设

为递减正项数列. 证明：级数

同时收敛，同时发散.

的部分和分别是

由此知，若又因为

由此知，若于是

2． 设函数f ，g 在

的某个领域上可导，

且

如果

证明

与

收敛，则

有上界，故

也收敛.

收敛，则

有上界，从而

有上界，即

有上界，因此

有

收敛.

【答案】设正项级数

同时收敛，同时发散。

其中A 是实数.

【答案】取

由

中值定理，

令

有

从而所以令

则

使得当

时，有

将使

固定，令

有

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则由知道

于是，

所以

3． 设

【答案】

所以 4． 设

【答案】由

利用已知的关系式

可得

注意到

由上式得

易见

由命题知，

存在. 在已知的关系式两边取极限可知

证明:

证明：

二、解答题

5． 设

试问k 为何值时，方程

其中

则

使得

即

存在正实根。

如果方程

于是

存在

【答案】

令

正实根

根据罗尔中值定理，

则存在

则

反之，

如果

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于是

因而存在

所以存在

使得

即方程

使得

在区间

由此得

因为

上应用连续函数根的

存在定理可得，存在在正实根，当且仅当

6． 若

【答案】

使得有正实根综上所述，原方程存

问对于之差分别是多少？

7． (1) 设

为正项级数，且

有

. 能否断定能否断定级数

使得

但收敛？

不绝对收敛，但可能条件收敛？(3) 设

发散.

为收

(2) 对于级数

敛的正项级数，能否存在一个正数

【答案】(1) 不能. 如取(2) 不能. 由题意知从而

(3) 不一定.

如取

8． 求幂级数

【答案】由于

故

且

发散. 则存在

. 则

满足条件，

但若取

可知收敛，

但对任意的

的收敛域及和函数.

因此另外

因此幕级数

9． 设函数f (x ) 满足条件性.

【答案】因为 n=0, 1，2，... 时，

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的收敛域

的收敛域为及和函数为问此函数在

上的傅里叶级数具有什么特