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一、证明题

1． 证明：设

则

，

在D 上无界的充要条件是存在

所以

这说明时，存在点

2． (1) 设

在D 上无界.

在D 上无界，所以

有

在

上可导. 若存在

上可导，设存在

使

这说明

使

)

证明:存在(2) 设

在

使得

有

. 因此，当取

必要性因为

使时，有

【答案】充分性因为，

设

证明：存在

使

【答案】(1) 方法一反证法：假设结论不真. 则对所有不妨设对一切. 当令

充分大时，若有

必有

或者，

都有

则有

这与条件矛盾； 同理对所有

立.

方法二

若

当

为有限数时，若

则存在

则使得

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，则

在

上严格单调递增.

对上述不等式取极限，则得

都有时，亦可得出矛盾，所以假设不成立，故原结论成

结论自然成立；

不恒等于

下设因为

(

对类似可证)

函数存在

使得

任取一点作

上面的推理仍然正确

.

易知

易知

由导函数的介值定理，

对所有

故有

在都存在；

上严格单调递增，或

在

必有

上严格单调递减. 内可取到最大值，

设

在

内可取到最小值，设

在

内连续，

所以对任意取定的数使得从而由若或

当当在

(2)

由于对所有或者

所以

时

，

处取到最小值，则有

时

，

处取到最大值，则有则

定理知，存在

注：第(1) 题是推广的罗尔中值定理.

下用反证法证明结论成立，假设结论不真，

令令若对一切当令

充分大时，有

则对任意

则有对所有都有

，则有

这与条件矛盾；

同理对所有立，即存在

3． 设

在

使得上可微，且对

都有

满足

证明:【答案】

则

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均有于是必有

或者

，

上严格单调递增，

对上述不等式取极限，则得

时，亦可得出矛盾，所以假设不成立，故原结论成

因此若一个点列

对

使得

另一方面，由令

4． 设

是可得

这显然与刚才的结论矛盾，所以

上的有界连续函数，证明:对任意使得

【答案】记(1) 若存

在

使得

当

则

这表明记为上

由(2) 若存在

(3)

若存在

使得当

满足

：

使得

时，恒有

可得

这种情形可仿照(1) 证明.

. 使得而且

由连续函

于是，有

是单调递增数列. 注意到

分三种情况讨论.

时，恒

有

而且

的有界性，利用单调有界定理，

存在，

即

取

存在数列

满足

存在广义极限，记为L.

在

，则

上应用拉格朗日中值定理，存在

这表明在

使得

上存在

数根的存在定理知，存在

二、解答题

5．

设函数

【答案】方程组分别关于

求偏导数，有

由方程组

所确定，

求

分别解得

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