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一、证明题

1． 证明：若级数

与

收敛，则级数

和

也收敛，且

【答案】因为又所以

及

均收敛，所以

收敛，

故

，收敛. 又因为

收敛，故由柯西-施瓦兹不等式

及闵可夫斯基不等式

»

对 2． 设数形式. 令

是由方程代

则

所确定的隐函数，试求

【答案】

欲将从所给的方程中解出来是非常困难的，甚至是不可能的，因此，必须引入参入所给的方程可得

故

3． 设，

且

求证：

【答案】改写

取极限，进而可得所证明的不等式.

4． 用定义证明:(1) 若

(2)

若

则则

【答案】(1) 由

知，

当时

固定

时，有

其中

，

上述

当

时，有

从而

(2)

令

则当

时，

于是

由(1) 知，上式的第二、三项趋向于零. 下证第四项极限也是零. 事实上，由

知，

有界，即存在

使

故

从而(2) 的极限是ab.

对固定的

而言，它是一个确定的常数. 故对，有

二、解答题

5． 计算积分

其中

是关于y 的奇函数，故

作极坐标变换：

则

【答案】因为积分区域D 关于x 轴对称，而

6． 求

【答案】

方法一令

在全平面上的最大最小值.

可得驻点(1，0) . 通过计算易知

，

所以(1，0) 为极小点，极小值为f (1，0) =-1.注意到

于是有

由此可见，f (x , y ) 在全平面上无最大值. 而另一方面，即f (x ，y ) 在有界闭域：方法二：先固定x ，求

. 当

或

时

上的最小值-1必是f (x , y ) 在全平面上的最小值. . 将f (x ，y ) 改写为：

显然

于是

故

又由

方法三 用配方法

.

且f (1，0) =-1即最小值为-1，无最大值. 7． 试求

在

上的傅里叶级数，并求级的延拓，则

可知f (x , y ) 在上无最大值.

的和.

【答案】将f (x ) 作周期为