2017年西南石油大学理学院602数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 证明：在n 个正数的和为定值条件
下，这n 个正数的乘积术中值
【答案】
令
的最大值为
并由此结果推出n 个正数的几何中值不大于算
解得所以
由题意知，最大值在惟一稳定点取得.
故
*
因此
2． 设当
时(x ) , 所以
而
从而
证明：
两者中至多有一个在x=0连续.
因为
时
这与题设
矛盾. 故f 与g 两
【答案】反证法. 假设f (x ) 、g (x ) 都在x=0连续，
则
者中至多有一个在x=0连续.
3． 设在上可微，且对于任何
【答案】由定积分的性质及积分中值定理有
有求证：对任何正整数n ，
有
其中M 是一个与x 无关的常数.
其中
又因为
_在
上可微，所以由微分中值定理可知，存在
使得
因此
证明：
4． 证明:若
则.
为.
对任意
上连续，所队有
其中
依次进行下去，可知存在当又
时，有连续，所以
有
所以
使得
'
在
有
上存在最大值M.
其中
上的连续函数，且对一切
有
【答案】
显然
，
而对于上面的
对一切
二、解答题
5． 用拉贝判别法判别下列级数的敛散性：
(1
) (2
)
【答案】(1) 因为
*
所以(2) 因为
，故由拉贝判别法可得原级数收敛.
由拉贝判别法，当x>1时原级数收敛；当x<1时原级数发散；当x=1时，原级数化为也发散.
6． 证明下列数列极限存在并求其值：
⑴设（2）设（3）时成立，则
再证设
递增
，在等式由保不等式性可知
故
有上界2. 当n=l时，
有上界2.
单调递增. 根据单调有界定理，极限
即
存在.
解得a=0或a=2.
因为
. 因此
两边取极限得，
.
所以数列再证明数列要满足两个条件
：
此，可猜想数列
有上界是递增的.
是有上界的. 先猜想
，再用数学归纳法来证明. 为此M （M 为某个正整数）即
由于
，当n=l时，显然
的根为
因
显然成立，假设n=k
由数学归纳法知
【答案】（1）先用数学归纳法证数列
（2）首先证明数列是单调的
.
假设n=k时成立，则n=k+l时，
即得
，
有上界. 由单调有界定理知，数列
解
得
（3）设M 是一个大于c 的正整数，即M>c，则当n>M时，
由
7． 求曲线
绕直线
旋转所成的曲面的表面积.
，则曲面的表面积为
可知
.
因此
由迫敛性得
的极限存在. 设
对因
为
所
以
两边取极限
因
此
其
中
【答案】这是星形线，充分考虑到对称性
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