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一、计算题

1． 设总体X 的密度函数为:

为抽自此总体的简单随机样本.

（1）证明:【答案】 （1）令即

的分布与无关，并求出此分布.

的置信区间.

则

的分布与无关，其密度函数为

由于从而求得

在y>0上单调递减，为使得区间长度最短，故应取c=0, 所以，的置信水平为

的置信区间为

.

（2）取c ，d 使得

的密度函数为

（2）求的置信水平为

2． 求以下分布的中位数:

（1）区间（a ，b ）上的均匀分布； （2）正态分布（3）对数正态分布【答案】（1

）从（2）记（3）记位数. 则由（2）知

由此得

，

由，令. 即

3． 已知离散随机变量X 的分布列为

表

1

，则

中解得

可得又记

为X 的中位数，

为Y 的中

试求【答案】

与的分布列. 的分布列为

表

2

的分布列为

表

3

4． 设随机变量X 服从

【答案】X 的密度函数为

由于X 在间外，

当

内取值，所以时，使

的可能取值区间为（0, 1）. 在Y 的可能取值区

的x 取值范围为两个互不相交的区间

, 如图

，其中

上的均匀分布，求随机变量的密度函数

图

故

在上式两端对y 求导，得

即

5． 为了研宄某种金属管防腐蚀的功能, 考虑了4种不同的涂料涂层, 将金属管埋设在3种不同性质的土壤中, 经历了一定时间, 测得金属管腐蚀的最大深度如下表所示（以mm 计）:

表1

试取显著性水平a=0.05检验在不同涂层下腐蚀的最大深度的平均值有无显著差异, 在不同土壤下腐蚀的最大深度的平均值有无显著差异, 设两因素间没有交互作用效应.

【答案】本题是双因素无交叉作用的方差分析问题, 需要在显著性水平a=0.05下, 检验假设

不全为0,

不全为0.

由己知得

的自由度分别是

从而得方差分析表如下:

表

2

,

,

由于故接受

及

对金属管腐蚀无影响.

,

, 认为金属管在不同涂层和不同土壤的腐蚀程度无差异, 即认为涂层和土壤