2018年暨南大学信息科学技术学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、计算题
1. 如果
【答案】记使
是F 因为令而
rN )
由M 的定义即可知所以有
而对于
当
时,有
因而
, 由的任意性知
结论得证.
2. 掷一颗骰子两次,求其点数之和与点数之差的协方差.
【答案】记X 为第一次掷出的点数,Y 为第二次掷出的点数,则X 与Y 独立同分布,
即有
由此得
3. 以X 记某医院一天内诞生婴儿的个数,以Y 记其中男婴的个数. 设X 与Y 的联合分布列为
试求条件分布列
【答案】先求X 的边际分布列
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试证:
与X 的分布函数分别为的连续点,
且
故存在因为
使当故存在
和时,有
使当
时,有
对任给的
取足够大的
和
所以X 服从参数为14的泊松分布. 由此得
这是二项分布
4. 假设有十只同种电器元件,其中有两只不合格品. 装配仪器时,从这批元件中任取一只,如是不合格品,则扔掉重新任取一只;如仍是不合格品,则扔掉再取一只,试求在取到合格品之前,已取出的不合格品只数的数学期望.
【答案】记
为“第i 次取m 的是合格品”,i=l, 2, 3. 随机变量X 为“取到合格品之前,已
上述三个概率组成一个分布列,其数学期望为
5. 设
是来自如下总体的一个样本
(1)若的先验分布为均匀分布(2)若的先验分布为【答案】(1)对先验分布
的联合密度函数为
,当
时,后验分布为
(2)对该先验分布,当
时,后验分布为
6. 从一批服从指数分布的产品中抽取10个进行寿命试验,观测值如下(单位:h ):
根据这批数据能否认为其平均寿命不低于1100h (取【答案】
指数分布
)?
中是总体均值,所以这是一个关于指数分布参数的假设检验问
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取出的不合格品数”. 则
. ,求的后验分布;
,求的后验分布.
题,待检验的假设为
由样本数据可算得若取
,则查表知
;,故检验统计量为.
,由于拒绝域为
,故接
受原假设,可以认为平均寿命不低于ll00h.
7. 某工厂每月生产10000台液晶投影机,但它的液晶片车间生产液晶片合格品率为
产多少片液晶片?
【答案】设每月至少应该生产n 片液晶片,其中合格品数记为X , 则有n , 使下述概率不等式成立
利用二项分布的正态近似,可得
查表可得
由此解得
8. 设总体密度函数为1个样本,并取拒绝域为
【答案】由定义,检验的势函数
即每月至少应该生产12655片液晶片.
为检验
,试求检验的势函数以及检验犯两类错误的概率. 是检验拒绝原假设的概率,为
.
当当
时,势函数就是检验犯第一类错误的概率,为时,1减去势函数就是检验犯第二类错误的概率,
即P
在0.5到0.75间变动.
;
为了以
的可能性保证出厂的液晶投影机都能装上合格的液晶片,试问该液晶片车间每月至少应该生
下求
,现观测
它是的函数,为
9. 设回归模型为
试求
的最大似然估计,它们与其最小二乘估计一致吗?
【答案】似然函数为
其对数似然函数为
导并令导函数为0, 得到如下似然方程组
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,(忽略常数项)将其分别对求
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