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2018年暨南大学信息科学技术学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研仿真模拟五套题

  摘要

一、计算题

1. 如果

【答案】记使

是F 因为令而

rN )

由M 的定义即可知所以有

而对于

时,有

因而

, 由的任意性知

结论得证.

2. 掷一颗骰子两次,求其点数之和与点数之差的协方差.

【答案】记X 为第一次掷出的点数,Y 为第二次掷出的点数,则X 与Y 独立同分布,

即有

由此得

3. 以X 记某医院一天内诞生婴儿的个数,以Y 记其中男婴的个数. 设X 与Y 的联合分布列为

试求条件分布列

【答案】先求X 的边际分布列

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试证:

与X 的分布函数分别为的连续点,

故存在因为

使当故存在

和时,有

使当

时,有

对任给的

取足够大的

所以X 服从参数为14的泊松分布. 由此得

这是二项分布

4. 假设有十只同种电器元件,其中有两只不合格品. 装配仪器时,从这批元件中任取一只,如是不合格品,则扔掉重新任取一只;如仍是不合格品,则扔掉再取一只,试求在取到合格品之前,已取出的不合格品只数的数学期望.

【答案】记

为“第i 次取m 的是合格品”,i=l, 2, 3. 随机变量X 为“取到合格品之前,已

上述三个概率组成一个分布列,其数学期望为

5. 设

是来自如下总体的一个样本

(1)若的先验分布为均匀分布(2)若的先验分布为【答案】(1)对先验分布

的联合密度函数为

,当

时,后验分布为

(2)对该先验分布,当

时,后验分布为

6. 从一批服从指数分布的产品中抽取10个进行寿命试验,观测值如下(单位:h ):

根据这批数据能否认为其平均寿命不低于1100h (取【答案】

指数分布

)?

中是总体均值,所以这是一个关于指数分布参数的假设检验问

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取出的不合格品数”. 则

. ,求的后验分布;

,求的后验分布.

题,待检验的假设为

由样本数据可算得若取

,则查表知

;,故检验统计量为.

,由于拒绝域为

,故接

受原假设,可以认为平均寿命不低于ll00h.

7. 某工厂每月生产10000台液晶投影机,但它的液晶片车间生产液晶片合格品率为

产多少片液晶片?

【答案】设每月至少应该生产n 片液晶片,其中合格品数记为X , 则有n , 使下述概率不等式成立

利用二项分布的正态近似,可得

查表可得

由此解得

8. 设总体密度函数为1个样本,并取拒绝域为

【答案】由定义,检验的势函数

即每月至少应该生产12655片液晶片.

为检验

,试求检验的势函数以及检验犯两类错误的概率. 是检验拒绝原假设的概率,为

.

当当

时,势函数就是检验犯第一类错误的概率,为时,1减去势函数就是检验犯第二类错误的概率,

即P

在0.5到0.75间变动.

为了以

的可能性保证出厂的液晶投影机都能装上合格的液晶片,试问该液晶片车间每月至少应该生

下求

,现观测

它是的函数,为

9. 设回归模型为

试求

的最大似然估计,它们与其最小二乘估计一致吗?

【答案】似然函数为

其对数似然函数为

导并令导函数为0, 得到如下似然方程组

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,(忽略常数项)将其分别对求