2017年河南工业大学理学院837高等代数考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 大炮以仰角α，初速度v 0发射炮弹，若不计空气阻力求弹道曲线。
【答案】取炮口在原点，炮弹前进的水平方向为2轴，铅直向上为Y 轴，设在时刻t ，炮弹位于
按题意有
且
解方程（1），
得
即
故弹道曲线为
2． 求对数螺线
【答案】 3． 设
【答案】
，而
代入初始条
件
解方程（2）,
得
得C 4=0，C 3=v0cos α，
即
得
代入初始条
件
相应于的一段弧长。
，求
4． 求内接于半径为a 的球且有最大体积的长方体.
【答案】设球面方程为
是它的内接长方体在第一卦限内的一
个顶点，则此长方体的长、 宽、高分别为2x ，2y ，2Z ，体积为
令
由
解得，代入，得，故为唯一可能的
时，
极值点。由于内接于球且有最大体积的长方体必定存在，所以当长方体的长、宽、高都为其体积最大。
5． 求幂级数
【答案】
幂级数的系数
的收敛域、核函数.
.
由于
=1，故得到收敛半径R=1，
当x=±1时，级数的一般项不趋于零，是发散的，所以收敛域为（—1, 1）令和函
数
则
其中
所以
6． 试用幂级数求下列各微分方程的解：
【答案】（1
）设方程的解为
入方程，则有如下竖式（注意对齐同次幂项）。
，代（a 0为任意常数）
比较系
数可得
不难求出
的收敛域都是
由于
记
（2）设
代入方程
得
故必有
即可见，当
时，有
故
则
是方程的解，其中a 0，a 1是任意常数，则
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