2017年河南工业大学理学院837高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 利用球面坐标计算下列三重积分：
（1）（2）确定。
【答案】（1）
，其中闭区域
，其中由不等式
是由球面
所围成的闭区域；
所
（2）在球面坐标系中，不等式为亦即
。因此
，
即
可表示为
（图）
；
变为
，即
，
即
变
，
图
于是
2． 试确定积分区域D ，使二重积分
达到最大值.
大于所围的
【答案】由二重积分的性质可知，当积分区域D 包含了所有使被积函数等于零的点，而不包含使被积函数
平面闭区域时，此二重积分的值达到最大.
3． 利用柯西审敛原理判定下列级数的收敛性:
小于零的点，即当D 是椭圆
【答案】
由于
故
于是，当p 为奇数时，有
当p 为偶数时，有
因此，对任意给定的正数
取正整数
。当n>N时，对任何正整数p ，都有
根据柯西审敛原理知，级数收敛.
（2）当n 是3的倍数时，如果取p=3n，则必有
于是对不论N 为何正整数，当n>N并n 是3倍的时候，且当p=3n时，就有
根据柯西审敛原理知，级数发散. （3）
由此可知，对任意给定的正数ε，取正整数都有
（4）本题与（2）类同，因不论n 取什么正整数，取p=n时，就有
，当n>N时，对一切正整数p ，
按柯西审敛原理，该级数收敛。
故对
因此该级数发散.
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