2017年河南工业大学理学院837高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、计算题
1． 求曲线
【答案】
t=0对应的点为（2, 1），故曲线在点（2, 1）处的切线方程为即
法线方程为即
2． 把对坐标的曲线积分
2
在t=0相应的点处的切线方程及法线方程。
，
化成对弧长的曲线积分，其中L 为:
（1）在xOy 面内沿直线从点（0，0）到点（l ，l ）; （2）沿抛物线y=x，从点（0，o ）到点（1，l ）; （3）沿上半圆周
从点（0，0）到点（l ，l ）。
【答案】（l ）L 为从点（0，0）到（1，l ）的有向线段，其上任一点处的切向量的方向余弦满足
于是
（2）L 由如下的参数方程给出：
，其方向余弦为
于是
（3）L 由如下的参数方程给出：
，x 由小到大地从0变到1，故L 的切向
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x 由小到大地从0变到1，故L
的切向量为
量的方向余弦为
于是
3． 建立以点（1，3，﹣2）为球心，且通过坐标原点的球面方程.
【答案】设以点（1，3，﹣2）为球心，R 为半径的球面方程为
球面过原点，故
从而所求球面方程为
4． 求曲线
在点
处的切线方程和法线方程。
，在曲线方程两端分别对x
【答案】由导数的几何意义知，所求切线的斜率为
求导，得，从而
，
，
于是所求的切线方程为即
法线方程为即x-y=0
5． 设函数
连续，且满足
在该方程两端对x 求导，得
【答案】由所给方程可得即
可见
又在方程
的两端对x 求导，得
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若记则有初值问题
上述非齐次方程对应的齐次方程的特征方程为特征方程的根，故令有通解
且有代入初始条件
有
解得
x
而不是
于是方程（1）
是方程（1）的特解，代入方程并消去e ，得
即于是得
6． 过点
（
）分别作平行于z 轴的直线和平行于xOy 面的平面，问在它们上面且平行于z 轴的直线l 上的点的坐标，其特点是，它们的横坐标均
的点的坐标各有什么特点?
【答案】如图所示，过相同，纵坐标也均相同.
而过点
且平行于xOy 面的平面上的点的坐标，其特点是，它们的竖坐标均相同
.
图
7． 求函数
【答案】
当x=1，y=1，△x=0.15，△y=0.1时，全微分
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，当x=1，y=1，△x=0.15，△y=0.1时的全微分.
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