2017年河南工业大学理学院837高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 求旋转椭球面
【答案】令
上点
处的切平面与XOY 面的夹角的余弦。
，曲面的法向量为
曲面在点
，记
处的法向量为与
的夹角为
，则所求的余弦值为
2． 画出下列曲线在第一卦限内的图形：
，
面的法向量为
【答案】（1）如图1所示；（2）如图2所示；（3）如图3所示
图1 图2 图3
3． 已知平面区域
【答案】
, 则
，计算二重积分
因为区间[
]关于原点对称，上式中关于的被积函数为偶函数，所以
因为
所以
4． 设正项级数
和
都收敛，证明级数
收敛，故有从而
故由比较审敛法知
收敛。
也收敛。
由极限定义知，存
【答案】根据题设条件知级数在正函数N ，当n ≥N 时，有
5． 设a=（3，5，﹣2），b=（2, 1, 4），问λ与μ有怎样的关系，能使得λa ＋μb 与z 轴垂直？
【答案】 λa ＋μb=λ（3，5，﹣2）＋μ（2, 1, 4）=（3λ＋2μ，5λ＋μ，﹣2λ＋4μ）. ，即 要λa ＋μb 与z 轴垂直，即要（λa ＋μb ）⊥（0, 0, 1, ）（λa ＋μb ）（0, 0, 1, ）=0 ·
即（3λ＋2μ，5λ＋μ，﹣2λ＋4μ）（0, 0, 1, ）=0 ·故﹣2λ＋4μ=0，因此当λ=2μ时能使λa ＋μb 与z 轴垂直.
6． 求内接于半径为a 的球且有最大体积的长方体.
【答案】设球面方程为
是它的内接长方体在第一卦限内的一
个顶点，则此长方体的长、 宽、高分别为2x ，2y ，2Z ，体积为
令
由
解得，代入，得，故为唯一可能的
时，
极值点。由于内接于球且有最大体积的长方体必定存在，所以当长方体的长、宽、高都为其体积最大。
7． 根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性：
【答案】设级数的部分和为S n 。 （1）因为
所以根据定义可知级数
发散。