2017年西南大学数学与统计学院819高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.
A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C
【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有
又
所以有
即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*
解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此
即
分别为A ，B 的伴随矩阵，
2． 设
则3条直线
（其中
）交于一点的充要条件是（ ）
.
【答案】D 【解析】令其中
则方程组①可改写为
则3条直线交于一点
方程组①有惟一解
由秩A=2, 可知
线性无关，由秩
可知
线性相关，即
可由
线性表出，
从而
可由线性表出. 线性相关，故选D.
3． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 4． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）. A. 必相等 B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在 若选故选B. 5． 设A 是 A. 如果B. 如果秩 从而否定A , 若选 从而否定C , 中选三个向量组 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 矩阵，则则 为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解 有非零解 有惟一解 只有零解 C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则 【答案】D 【解析】 6． 计算 秩 未知量个数， 有零解. 二、分析计算题 其中互不相同. 【答案】 显见，x 分别取又由定义知所以 7． A 为正交阵 （1）（2）当 时，有两两互素，所以有 由根与系数的关系知 是一个关于x 的首项系数为1的n 次多项式，故 为A 的特征值， 为相应特征向量，证明： 【答案】（1）由于正交矩阵A 的特征值的模为1，因此有 （2）由假设知所以 即 由①，③，并注意到移项并注意到再由于 所以 结合⑤式可得 可得
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