2017年西南大学数学与统计学院819高等代数考研题库
● 摘要
一、选择题
1． 设线性方程组
的解都是线性方程组
的解空间分别为
的解，则（ ）。
则
所以
即证秩 2． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵
其中
故A 〜B.
再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
且由①式得
【答案】（C ） 【解析】设
则A 与B （ ）.
使
因此A 与B 合同. 3．
设
是3维向量空
间的过渡矩阵为（ ）
.
的一组基, 则由
基
到
基
【答案】（A ）
4． 若
【答案】C
【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得
5． 设
是非齐次线性方程组
的两个不同解，
是
的基础解系，
为任意常数，
都是4维列向量，且4阶行列式
则Ax=b的通解为（ ）•
【答案】B 【解析】因为中
不一定线性无关. 而
由于故
是
因此
线性无关，且都是
知
的解. 是
的特解，因此选B.
所以
因此
不是
的特解，从而否定A , C.但D
的基础解系. 又由
二、分析计算题
6． 在欧氏空间V 中
（1）若向量
等长，证明：
正交，作出几何解释；
S 是V 的子空间，是V 中的一切与s 正交的向量所成集合，（2）设V 是n 维的，证明：是V 的子空间，且
【答案】（1）因为，所以
几何解释：表示菱形两对角线互相垂直. （2）由已知有且
故S
和
是同一子空间&的正交补，由正交补的惟一性，即证②.
仿上题可证是V 的予空间，且
故①成立，
7． 计算n 阶行列式
【答案】
当时，有
当某个
时，有
各行都减第i 行，得
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