2017年西南大学数学与统计学院819高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设行列式
为f （X ），则方程，f （x ）=0的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得
2． 设
其中A 可逆，则A. B. C. D. 【答案】C
=（ ）.
【解析】因为
3． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
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中选三个向量组
若选
从而否定A ,
若选
从而否定C ,
故选B.
4． 设n （n ≥3）阶矩阵
若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1 B. C.-1 D.
故
但当a=l时，
5． 设线性方程组
的解都是线性方程组
的解空间分别为
的解，则（ ）。
则
所以
即证秩
【答案】B 【解析】
【答案】（C ） 【解析】设
二、分析计算题
6． 试证象棋盘上的马，从任一位置出发，只能经过偶数步才鲫眺回原处（马跳法是沿相邻的方格组成的矩形的对角线）.
，马的跳法有8种类型： 【答案】设此定点为坐标原点，建立直角坐标系（如图）
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图
，用反证法，设第i 种类型共跳
次第1种是跳往的位置（见图）回到原处，那么
或
①方程组①的增广矩阵为
且其
步
由于最后一个方程为
②I 而Xi 是整数，②式左端为偶数，②式右端为奇数，矛盾. 所以只能偶数步才能跳回原处. 7． 线性空间里
【答案】
所以存在非零向量
又因为子空间的交仍是子空间，所以有
这样得
即得a 的两个不同分解式，与a 分解式唯一性相矛盾.
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的和是直和的充要条件是
按直和的定义，必要性显然
.
且有唯一分
解
中至少有一个向量a 可唯一地表示为这
如
果不是直和，
则
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