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一、计算题

1． 一颗骰子抛两次，求以下随机变量的分布列：

（1）X 表示两次中所得的最小点数； （2）Y 表示两次所得点数之差的绝对值.

【答案】（1）一颗骰子抛两次，共有36种等可能的结果.X 表示两次中所得的最小点数，则X 的可能取值为1，2，3，4，5，6。由确定概率的古典方法得

将以上计算结果列表为

表

1

（2）因为Y 表示两次所得点数之差的绝对值，所以1，的可能取值为0，1，2，3，4，5. 而

将以上计算结果列表为

表

2

2． 有一批枪弹，出厂时，其初速行测试，得样本值（单位：m/s）如下：

据经验，枪弹经储存后其初速仍服从正态分布，且标准差保持不变，问是否可认为这批枪弹的初速有显著降低（分别为假设分别为

在显著性水平为下，检验的拒绝域为著降低.

（单位：m/s）. 经过较长时间储存，取9发进

）？

待检验的原假设矾和备择假设

【答案】这是一个单侧假设检验问题，总体

若取查表知

经计算得

此处“值落入拒绝域内，故拒绝原假设，可以判断这批枪弹的初速有显

关于本题说明一点：本题中的一对假

设

由于使用该拒绝域的检验的势函数为

是的减函数，因而要求

与要求

的检验与另一对

假设

的检验有完全相同的拒绝域，这是因为二者的拒绝域形式相同，

都形如

等价，从而两个检验问题的拒绝域完全一

致. 该现象不是偶然的，具有普遍性，这从势函数的单调性得到保证.

3． 设总体X 的概率密度为_

是来自总体X 的简单随机样本

（I ）求参数的矩估计量； （II

）求参数的最大似然估计量。 【答案】⑴由

令（II

）设

得参数的矩估计量为

其中参数

未知

，

为样本观测值，则似然函数为

于是

令

得

故参数的最大似然估计量为

【评注】本题为基础题型，要熟练掌握总体未知参数的两种点估计法：矩估计法和最大似然估计法。

4． 从一批产品中抽检100个，发现3个不合格，假定该产品不合格品率的先验分布为贝塔分布Be （2, 200），求的后验分布.

n-x+200）. 这里n=100, x=3, 【答案】根据不合格品率的共轭先验可知，的后验分布为Be （x+2，所以，的后验分布为Be （5, 297）.

5． 某汽车销售点每天出售的汽车数服从参数为X=2的泊松分布. 若一年365天都经营汽车销售, 且每天出售的汽车数是相互独立的, 求一年中售出700辆以上汽车的概率.

【答案】

记

为第i 天出售的汽车辆数,

则, 知

为一年的总销量.

由

利用林德伯格-莱维中心极限定理, 可得

这表明:该销售点一年售出700辆以上汽车的概率近似为0.8665.

6． 设

【答案】记

为来自

的样本，试求假设样本的联合密度函数为

两个参数空间分别为

利用微分法可求出在上MLE , 于是似然比统计量为

通过简单的求导计算可知，

函数是

从而似然比检验等价于采用

做检验统计量，也就是说，似然比检验与传统的双侧卡方在（0, 1）区间内单调递增，

在（

）上单调递减，于

分别为

的MLE , 而在

上

为u 的

的似然比检验.

检验是等价的.

7． 某电工器材厂生产一种保险丝，测量其熔化时间，依通常情况方差为400, 今从某天产品中抽取容量为25的样本，测量其熔化时间并计算得差与通常有无显著差异（取

当

时，查表知

下可以认为该天保险丝熔化时间的方差

【答案】本题可归结为关于正态总体方差的双侧检验问题

因此拒绝域为

问这天保险丝熔化时间的方

或

，假定熔化时间服从正态分布）？

此处，检验统计量为

该值没有落入拒绝域内，从而在显著性水平与通常无显著差异.