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一、计算题

1． 某地电视台想了解某电视栏目（如:每晚九点至九点半的体育节目）在该地区的收视率情况, 于是委托一家市场咨询公司进行一次电话访查.

（1）该项研宄的总体是什么？ （2）该项研宄的样本是什么？

【答案】（1）该项研宄的总体是该地区全体电视观众； （2）该项研宄的样本是该地区被电话访查的电视观众.

2． 以X 记某医院一天内诞生婴儿的个数, 以Y 记其中男婴的个数. 设X 与Y 的联合分布列为

试求条件分布列P （Y=m|X=n）. 【答案】先求X 的边际分布列

所以X 服从参数为14的泊松分布. 由此得

这是二项分布b （n , 0.51）. 3． 设足

【答案】由于概

率

等价于要

使

, 满足上

述不等式的最小n 可用搜索法获得, 如下表:

表

是来自正态总体的最小n 值.

所以有

分布的0.95分位

数

不大

于

要使上述

即

的一个样本.

是样本方差, 试求满

由此可见, 当就可使上述不等式成立.

4． 设随机变量（X , Y ）的联合密度函数为

试求 （1）常数k ; （2）（（3）

【答案】（1）由

解得k=12. （2）当

或

时, 有

; 而当

时,

所以

（3）

5． 设

【答案】记

为来自

的样本，试求假设样本的联合密度函数为

）的联合分布函数;

的似然比检验.

两个参数空间分别为

利用微分法可求出在上MLE , 于是似然比统计量为

通过简单的求导计算可知，

函数是

从而似然比检验等价于采用检验是等价的.

6． 设平面区域D 由曲线

做检验统计量，也就是说，似然比检验与传统的双侧卡方在（0, 1）区间内单调递增，

在（

）上单调递减，于

分别为

的MLE , 而在

上

为u 的

及直线所围成, 二维随机变量在区

域D 上服从均匀分布, 试求X 的边际密度函数.

【答案】因为区域D 的面积为（如图）

又因为（X , Y ）服从D 上的均匀分布, 所以（X , Y ）的联合密度函数为

图

由此得, 当

时,

所以X 的边际密度函数为

若此题要求出Y 的边际密度, 则从图中可以看出: 当.

时, 有