2017年东北财经大学数量经济学814经济学及概率论与数理统计之概率论与数理统计教程考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设
是来自两参数指数分布
的样本, 证明（
）是充分统计量.
【答案】由已知, 样本联合密度函数为
令
2． 设随机变量量.
【答案】
令
, 两边取对数, 并将
所以
收敛的方法知结论成立.
3． 设总体的概率函数p （x ; θ）的费希尔信息量存在，若二阶导数证明费希尔信息量
【答案】记
则
所以
另一方面，
第 2 页，共 38 页
, 由因子分解定理,
, 证明:当
时, 随机变量
是的充分统计量• 按分布收敛于标准正态变
可
得
, 则由X 的特征函数
..
展开为级数形式, 可得
而
正是的特征函数, 由特征函数的唯一性定理及判断弱
对一切的存在，
这就证明了
证明:X 与不相关. 为证明X
4． 设随机变量X 有密度函数p （x ）, 且密度函数p （x ）是偶函数, 假定Y=
不相关但不独立. 【答案】因为
与Y 不相互独立, 特给定a>0, 使得
所以X 与
不独立.
独立同分布, 数学期望、方差均存在, 且
5． 设随机变量序列证:
【答案】这时 6． 设明:
为独立同分布的随机变量序列, 方差存在. 又设服从大数定律. 【答案】不妨
设
又因为
否则
令
. 因为
故有
所以由马尔可夫大数定律知
服从大数定律.
7． 设罐中有b 个黑球、r 个红球，每次随机取出一个球，取出后将原球放回，再加入同色的球. 试证：第k 次取到黑球的概率为
【答案】
设事件设
则显然有
则由全概率公式得
第 3 页，共 38 页
所以这表明:X 与
现考查如下特定事件的概率
试
由辛钦大数定律知结论成立.
仍为独立同分布, 且
为绝对收敛级数. 令证
, 并讨
论即可.
由
知
为绝对收敛级数, 可记
个
下用归纳法证明.
为“罐中有b 个黑球、r 个红球时，第i 次取到是黑球”，
记
把k 次取球分为两段：第1次取球与后k-1次取球. 当第1次取到黑球时，罐中增加c 个黑球，这时从原罐中第k 次取到黑球等价于从新罐（含b+c个黑球，r 个红球）中第k-1次取到黑球，故有
类似有
所以代入（1）式得
由归纳法知结论成立.
8． 设随机变量
试证明: （1）（2）（3）【答案】（1）
（2）由（1）知, （3）由（2）
知
由此得
所以
因为X 与Y 相互独立, 所
以
,
, 且X 与Y 相互独立, 令
二、计算题
9． 设曲线函数形式为出；若不能，说明理由.
，这样【答案】不能. 此处a 是未知参数，我们不能采用如上题所用的方法，即取v=ln（y-a ）的变换是行不通的，因为这样变换后的v 无法观测.
10．杀伤性武器迫击炮弹的出口速度与炮口面积有关，现选择四个炮口面积作为因子A 的四个水平，安排一个重复数为8的单因子试验，所测出口速度（已排序）如下：
表1 出口速度数据
=原数据-200
第 4 页，共 38 页
问能否找到一个变换将之化为一元线性回归的形式，若能，试给
相关内容
相关标签