2017年复旦大学管理学院861概率论与数理统计考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 设总体4阶中心矩
存在, 则对样本方差
, 有
其中
为总体X 的方差.
并以
简记从1到n 的求和, 于是
由于诸间相互独立, 且
所以,
故
2． 设二维随机变量（X , Y ）在矩形
求边长分别为X 和Y 的矩形面积Z 的密度函数.
【答案】因为（X , Y ）服从矩形G 上的均匀分布, 所以（X , Y ）的联合密度函数为
又因为面积Z=XY, 所以Z 可在区间（0, 2）上取值, 且Z 的密度函数可用积的公式求得
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【答案】为书写方便起见, 记
上服从均匀分布, 试
要使以上被积函数大于0
的区域必须是
, 所以当0 3． [1]设总体X 的密度函数为机样本，求的置信水平为 ，其中 的置信区间. ，现从此批产品中抽取容量为 求平均寿命 的置信水平为0.9的置信区间和单侧置信上、下限. ，根据伽玛分布的性质， 从而 . 因此可得的置信水平为 的置信区间为 查表可得， . 【答案】由指数分布和伽玛分布的关系知 为未知参数， 的交集, 此交集为 为抽自此总体的简单随 [2]设某电子产品的寿命服从指数分布，其密度函数为9的样本，测得寿命为（单位：kh ） [2]这是题[1]的一个具体应用. 计算得 根据上题结论可知，的置信水平为0.9的置信区间为[0.0088, 0.0272], 单侧置信上限为0.0245, 单侧置信下限为0.0102. 所以，平均寿命1A 的置信水平为0.9的置信区间[36.76，113.64], 单侧置信上限为98.04，单侧置信下限为40.82. 4． —个质点从平面上某点开始，等可能地向上、下、左、右四个方向随机游动，每次游动的距离为1，求经过2n 次游动后，质点回到出发点的概率. 【答案】因为每次都等可能地向上、下、左、右四个方向随机游动，所以经过2n 次游动后，样本空间中共有 设所求事件为样本点共有本点总数 它为 由此得所求概率为 第 3 页，共 25 页 个样本点. 事件 发生要求（1）上下游动次数相等；（2）左右游动次数相等，否则不 个，当k 从0到n 累加起来就得事件 所含样 可能回到出发点，若上、下游动各k 次，那么左、右游动只能各n-k 次，这样共游动2n 次，此种 可算得： 5． 设伽玛分布，即 【答案】 是来自如下总体的一个样本 ，求的后验期望估计. 与的联合分布为 于是的后验分布为 若取的先验分布为 这是一个伽玛分布因而的后验期望估计为 6． 设总体X 服从N （0, 1）, 从此总体获得一组样本观测值 （1）计算x=0.15（即（2）计算【答案】（1）可知, （2 ） 7． 设 是来自几何分布的样本，总体分布列为 θ的先验分布是均匀分布U （0，1）. （1）求θ的后验分布； （2）若4次观测值为4, 3, 1，6, 求θ的贝叶斯估计. 【答案】（1）样本和θ的联合密度函数为 于是 第 4 页，共 25 页 处）的 所以 , 在 在x=0.15的分布函数值. x=0.15处的分布函数 值