2017年复旦大学生命科学学院861概率论与数理统计考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 设二维随机变量
的联合密度函数为
求X 与Y
中至少有一个小于0.5的概率.
【答案】两事件
中至少有一个发生的概率为
2． 某厂生产的化纤强度服从正态分布，长期以来其标准差稳定在σ=0.85, 现抽取了一个容量为n=25的样本，测定其强度，算得样本均值为的置信区间.
【答案】这是方差已知时正态均值的区间估计问题.
由题设条件
于是这批化纤平均强度的置信水平为0.95的置信区间为
即这批化纤平均强度的置信水平为0.95的置信区间为[1.9168, 2.5832].
3． 设随机变量.
的分布列如下，且满足
表
1
【答案】记（
）的联合分布列为
表
2
试求
，
查表知
，试求这批化纤平均强度的置信水平为0.95
由知:, 所以表
3
又因为
同理由
表
4
可知
, 即
又由分布列的正则性得因此
4． 甲掷硬币n+2次，乙掷n 次，求甲掷出的正面数比乙掷出的正面数多的概率.
【答案】记A={甲掷出的正面数>乙掷出的正面数}， B={甲掷出的反面数>乙掷出的反面数}. ，又因为由对称性知：P （A ）=P（B ）由此得注意到
且
AB={甲的正面数>乙的正面数，甲的反面数>乙的反面数} ={甲的正面数-乙的正面数=1，甲的反面数-乙的反面数=1] ={甲的正面数-乙的正面数=1}. 所以有
将此结果及P （A ）=P（B ）代入（1）得
，均有
注：当乙掷n 次硬币时，无论是甲掷n+1次（上题）还是n+2次（本题）中得
所以
所以
即
且由对称性，本题和上一题都有P （A ）=P（B ）. 而本题与上一题的不同点在于：本题
<而上一题中
因此对上一题我们可以由以下更简便的方法去计算：
即
当甲掷n+1次硬币，乙掷n 次硬币时，由对称性知P （A ）=P（B ）. 且由
5． 系统由n 个部件组成. 记
为第i 个部件能持续工作的时间, 如果
独立同分布,
且
试在以下情况下求系统持续工作的平均时间:
（1）如果有一个部件停止工作, 系统就不工作了； （2）如果至少有一个部件在工作, 系统就工作. 【答案】因为
所以
的密度函数和分布函数分别为
（1）根据题意,
系统持续工作的时间为
而当t>0时
这是参数为
的指数分布, 所以
所以, 当t>0时
所以系统持续工作的平均时间为
6． （巴拿赫问题）某数学家有两盒火柴，每盒都有n 根，每次使用时，他任取一盒并从中抽出一根，问他发现一盒空而另一盒还有是此概率的2倍.
先计算样本空间中的样本点个数，因为每次都是等可能地取A 盒或B 盒，共取了2n —r+1次，故样本空间中共有
个样本点.
个，因此
事件E 发生可分两段考察，前2n —r 次中A 盒恰好取到n 次，且次序不论，最后一次（第2n_r+l次）必定取到A 盒，这样才能发现A 盒已空，此种样本点共有
所求概率为
譬如，取
可算得
根的概率是多少？
【答案】由对称性知，只要计算事件E=“发现A 盒空而B 盒还有r 根”的概率即可，所求概率（2）根据题意, 系统持续工作的时间为
所以, 当t<0时,
密度函数